MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteProgresii Geometrice
Populația unui oraș crește anual cu un procent constant p%p\%. În anul 2020, populația era P0=100000P_0 = 100000. Se știe că după 5 ani, populația a crescut cu 10,4% față de cea inițială. Determinați pp și apoi calculați câți ani sunt necesari pentru ca populația să se dubleze.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Modelăm creșterea ca o progresie geometrică: după nn ani, populația este Pn=P0(1+p100)nP_n = P_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n.
23 puncte
Creșterea cu 10,4% înseamnă că P5=P0(1+0.104)=1.104P0P_5 = P_0 (1 + 0.104) = 1.104P_0. Atunci (1+p100)5=1.104\left(1 + \frac{p}{100}\right)^5 = 1.104.
32 puncte
Rezolvăm ecuația: 1+p100=1.1045≈1.021 + \frac{p}{100} = \sqrt[5]{1.104} \approx 1.02. Deci p=(1.02−1)×100=2p = (1.02 - 1) \times 100 = 2%.
43 puncte
Pentru dublare, Pn=2P0P_n = 2P_0, adică 1.02n=21.02^n = 2. Aplicăm logaritmi: n=ln⁡2ln⁡1.02≈35n = \frac{\ln 2}{\ln 1.02} \approx 35. Verificare: 1.0235≈2.001.02^{35} \approx 2.00. Așadar, sunt necesari aproximativ 35 de ani.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.