MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceIdentități algebrice
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=2a_1=2 și an+1=3an−2a_{n+1}=3a_n-2 pentru orice n≥1n \ge 1. Determinați termenul general al șirului și calculați suma primilor 10 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
16 puncte
Se definește bn=an−1b_n = a_n - 1. Din relația de recurență, an+1−1=3(an−1)a_{n+1}-1=3(a_n-1), deci bn+1=3bnb_{n+1}=3b_n. Șirul (bn)(b_n) este progresie geometrică cu b1=a1−1=1b_1=a_1-1=1 și rație 3, deci bn=3n−1b_n=3^{n-1}. Atunci an=bn+1=3n−1+1a_n=b_n+1=3^{n-1}+1.
24 puncte
Suma S10=∑k=110ak=∑k=110(3k−1+1)=∑i=093i+10=310−13−1+10=59049−12+10=29524+10=29534S_{10}=\sum_{k=1}^{10} a_k = \sum_{k=1}^{10} (3^{k-1}+1)=\sum_{i=0}^{9}3^i +10= \frac{3^{10}-1}{3-1}+10=\frac{59049-1}{2}+10=29524+10=29534.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.