MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1x2+1f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}. a) Determinați domeniul de definiție și studiați paritatea. b) Calculați derivata f′(x)f'(x) și studiați monotonia pe R\mathbb{R}. c) Calculați integrala definită ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx. d) Determinați volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției pe intervalul [0,1][0,1] în jurul axei Ox. e) Studiați existența asimptotelor orizontale.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul este R\mathbb{R} deoarece x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. f(−x)=1(−x)2+1=1x2+1=f(x)f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = f(x), deci funcția este pară.\n
22 puncte
f′(x)=−2x(x2+1)2f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}. f′(x)=0⇒x=0f'(x) = 0 \Rightarrow x=0. Pe (−∞,0)(-\infty, 0), f′(x)>0f'(x) > 0, funcția este crescătoare; pe (0,∞)(0, \infty), f′(x)<0f'(x) < 0, funcția este descrescătoare. Punct de maxim local la x=0x=0, f(0)=1f(0)=1.\n
32 puncte
∫011x2+1dx=arctan⁡x∣01=arctan⁡1−arctan⁡0=π4−0=π4\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x \big|_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.\n
42 puncte
Volumul este V=π∫01[f(x)]2dx=π∫011(x2+1)2dxV = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 dx = \pi \int_{0}^{1} \frac{1}{(x^2 + 1)^2} dx. Folosim substituția x=tan⁡tx = \tan t, dx=sec⁡2tdtdx = \sec^2 t dt, atunci ∫1(x2+1)2dx=∫cos⁡2tdt=t2+sin⁡2t4+C\int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} dx = \int \cos^2 t dt = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C. Pentru xx de la 0 la 1, tt de la 0 la π4\frac{\pi}{4}, deci V=π[π8+14]=π28+π4V = \pi \left[ \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \right] = \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi}{4}.\n
52 puncte
Asimptote orizontale: lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞1x2+1=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală spre ±∞\pm \infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.