MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 9

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie a,b,ca, b, c numere reale pozitive astfel încât a+b+c=1a+b+c=1. Să se demonstreze că a1+a+b1+b+c1+c≤34\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c} \leq \frac{3}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se rescrie fiecare termen: a1+a=1−11+a\frac{a}{1+a} = 1 - \frac{1}{1+a}.
24 puncte
Folosind inegalitatea dintre media armonică și media aritmetică sau direct din a+b+c=1a+b+c=1, se arată că 11+a+11+b+11+c≥94\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \geq \frac{9}{4}, deoarece 311+a+11+b+11+c≤1+a+1+b+1+c9=49\frac{3}{\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}} \leq \frac{1+a+1+b+1+c}{9} = \frac{4}{9}.
33 puncte
Atunci a1+a+b1+b+c1+c=3−(11+a+11+b+11+c)≤3−94=34\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c} = 3 - \left( \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \right) \leq 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.