MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorIntegrale definiteArii și volume
Se consideră funcția f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2}. Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Funcția este definită pe [0,2][0,2] deoarece 4−x2≥04 - x^2 \geq 0 pentru x∈[−2,2]x \in [-2,2], iar în acest caz x∈[0,2]x \in [0,2]; graficul este partea din primul cadran a cercului x2+y2=4x^2 + y^2 = 4.
24 puncte
Aria este dată de integrala definită A=∫024−x2 dxA = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx.
33 puncte
Se face substituția trigonometrică x=2sin⁡tx = 2\sin t, deci dx=2cos⁡t dtdx = 2\cos t \, dt; limitele: când x=0x=0, t=0t=0, când x=2x=2, t=π2t = \frac{\pi}{2}. Integrala devine ∫0π24−4sin⁡2t⋅2cos⁡t dt=∫0π24cos⁡2t dt=2∫0π2(1+cos⁡2t) dt=2[t+sin⁡2t2]0π2=2⋅π2=π\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 - 4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2 t \, dt = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) \, dt = 2\left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi. Deci aria este π\pi unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.