MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=x3+2x2−x+1x2+1f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2 + 1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Efectuăm împărțirea polinomului x3+2x2−x+1x^3 + 2x^2 - x + 1 la x2+1x^2 + 1, obținând câtul x+2x + 2 și restul −2x+1-2x + 1. Astfel, f(x)=x+2+−2x+1x2+1f(x) = x + 2 + \frac{-2x + 1}{x^2 + 1}.
24 puncte
Rescriem f(x)=x+2−2xx2+1−1x2+1f(x) = x + 2 - \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}. Calculăm primitivele pentru fiecare termen: ∫xdx=x22+C\int x dx = \frac{x^2}{2} + C, ∫2dx=2x+C\int 2 dx = 2x + C, ∫−2xx2+1dx=−ln⁡(x2+1)+C\int -\frac{2x}{x^2+1} dx = -\ln(x^2+1) + C (prin substituția u=x2+1u = x^2+1), și ∫−1x2+1dx=−arctan⁡x+C\int -\frac{1}{x^2+1} dx = -\arctan x + C.
33 puncte
Combinăm rezultatele pentru a obține o primitivă: F(x)=x22+2x−ln⁡(x2+1)−arctan⁡x+CF(x) = \frac{x^2}{2} + 2x - \ln(x^2+1) - \arctan x + C, unde CC este constantă reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.