MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R} definită prin f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Să se studieze funcția ff, determinând: a) domeniul de definiție și semnul funcției; b) derivata întâi și intervalele de monotonie; c) derivata a doua și intervalele de convexitate/concavitate; d) asimptotele graficului funcției; e) să se schițeze graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea domeniului (0,∞)(0, \infty) și semnului: f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru x≥1x \geq 1 și f(x)≤0f(x) \leq 0 pentru 0<x≤10 < x \leq 1, cu f(1)=−1f(1) = -1.
23 puncte
Calculul derivatei f′(x)=ln⁡xf'(x) = \ln x și studiul monotoniei: ff este strict descrescătoare pe (0,1](0,1] și strict crescătoare pe [1,∞)[1,\infty).
32 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
42 puncte
Asimptote: nu există asimptotă verticală (domeniul exclude 00), nu există asimptotă orizontală deoarece lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, și nu există asimptotă oblică deoarece lim⁡x→∞f(x)x=∞\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty.
51 punct
Schița graficului, indicând punctul de minim (1,−1)(1,-1) și comportarea la limite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.