MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Studiați funcția: determinați domeniul de definiție, paritatea, limitele la infinit, derivata întâi, intervalele de monotonie, punctele de extrem, derivata a doua, punctele de inflexiune, asimptotele și schițați graficul.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Domeniul este R\mathbb{R}, iar funcția este pară deoarece f(−x)=e−(−x)2=e−x2=f(x)f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x).
22 puncte
Limite: lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală.
32 puncte
Derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. Puncte critice: f′(x)=0⇒−2xe−x2=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow -2x e^{-x^2}=0 \Rightarrow x=0.
42 puncte
Monotonie: pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x)>0 (funcție crescătoare), pentru x>0x>0, f′(x)<0f'(x)<0 (funcție descrescătoare). Punctul x=0x=0 este maxim local, f(0)=1f(0)=1.
52 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=(−2+4x2)e−x2f''(x) = (-2 + 4x^2) e^{-x^2}. Puncte de inflexiune: f′′(x)=0⇒−2+4x2=0⇒x=±22f''(x)=0 \Rightarrow -2+4x^2=0 \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
61 punct
Schița graficului, evidențiind maximul, punctele de inflexiune și asimptota.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.