MediuStatistică descriptivăClasa 10

Problemă rezolvată de Statistică descriptivă

MediuStatistică descriptivăFuncția de gradul al II-leaSisteme de Ecuații Neliniare
Un set de date constă din două valori distincte aa și bb, cu frecvențele faf_a respectiv fbf_b. Se știe că media aritmetică a datelor este 12, abaterea standard este 4, iar totalul observațiilor este 30. Valorile aa și bb sunt rădăcinile ecuației x2−18x+c=0x^2 - 18x + c = 0. Determinați constanta cc și frecvențele faf_a și fbf_b.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
12 puncte
Scriem condițiile pentru medie și abatere standard. Media: afa+bfb30=12⇒afa+bfb=360\frac{a f_a + b f_b}{30} = 12 \Rightarrow a f_a + b f_b = 360. Abaterea standard: σ=4⇒σ2=16⇒fa(a−12)2+fb(b−12)230=16⇒fa(a−12)2+fb(b−12)2=480\sigma = 4 \Rightarrow \sigma^2 = 16 \Rightarrow \frac{f_a (a-12)^2 + f_b (b-12)^2}{30} = 16 \Rightarrow f_a (a-12)^2 + f_b (b-12)^2 = 480.
21 punct
Din ecuația x2−18x+c=0x^2 - 18x + c = 0, avem a+b=18a+b=18 și ab=cab=c.
31 punct
Notăm fa=pf_a = p și fb=30−pf_b = 30-p, cu pp număr întreg nenegativ.
42 puncte
Substituim în ecuația mediei: ap+b(30−p)=360a p + b(30-p) = 360. Folosind b=18−ab = 18 - a, obținem ap+(18−a)(30−p)=360a p + (18-a)(30-p) = 360, care se simplifică la ap−15a−9p=−90a p -15a -9p = -90.
52 puncte
Din ecuația varianței: p(a−12)2+(30−p)(b−12)2=480p(a-12)^2 + (30-p)(b-12)^2 = 480. Cu b=18−ab=18-a, avem (b−12)2=(6−a)2(b-12)^2 = (6-a)^2, deci p(a−12)2+(30−p)(6−a)2=480p(a-12)^2 + (30-p)(6-a)^2 = 480. Dezvoltăm și obținem 30a2−360a−12pa+108p+600=030a^2 -360a -12p a +108p +600 = 0.
62 puncte
Din step 4, exprimăm pp în funcție de aa: p=15a−90a−9p = \frac{15a -90}{a-9}, pentru a≠9a \neq 9. Substituim în ecuația din step 5 și rezolvăm pentru aa. Obținem ecuația a3−27a2+218a−504=0a^3 -27a^2 +218a -504=0. Testăm rădăcini raționale și găsim a=14a=14 (deoarece 143−27⋅142+218⋅14−504=2744−5292+3052−504=014^3 -27\cdot14^2 +218\cdot14 -504 = 2744 -5292 +3052 -504 =0). Atunci b=4b=4, p=15⋅14−9014−9=210−905=24p = \frac{15\cdot14 -90}{14-9} = \frac{210-90}{5} = 24, deci fa=24f_a=24, fb=6f_b=6, și c=ab=56c = ab = 56.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Statistică descriptivă

Ușor#1Statistică descriptivăProbabilități
Rezultatele unui test la matematică pentru 100 de elevi au o medie de 75 de puncte și o abatere standard de 10 puncte, distribuite normal. Aflați probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să obțină între 70 și 80 de puncte. În plus, determinați numărul așteptat de elevi care obțin peste 85 de puncte.
Ușor#2Statistică descriptivăProbabilitățiMatematică aplicată
Un sondaj privind venitul lunar al familiilor dintr-un oraș a arătat că media este de 5000 lei și abaterea standard este de 1000 lei. Presupunând că venitul urmează o distribuție normală, calculați probabilitatea ca o familie aleasă aleatoriu să aibă un venit între 4000 și 6000 lei. Utilizați tabelul valorilor funcției Laplace, unde Φ(1)=0.3413\Phi(1) = 0.3413.
Ușor#3Statistică descriptivăMatematică aplicată
Se înregistrează timpii de reacție (în milisecunde) pentru 15 subiecți: 210, 215, 208, 212, 220, 205, 218, 214, 209, 213, 217, 211, 216, 207, 219. Calculați media, mediana, modul și deviația standard a acestor date. Analizați simetria distribuției.
Mediu#4Statistică descriptivăMatematică aplicată
O companie a înregistrat venituri lunare (în mii de lei) pe un an: [12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40][12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40]. Calculați media, dispersia și abaterea standard a acestor venituri. Apoi, determinați intervalul de încredere pentru media populației, presupunând că datele provin dintr-o distribuție normală și nivelul de încredere este de 95%95\%. (Se cunoaște că pentru 1111 grade de libertate, valoarea-tt este 2.2012.201.)
Vezi toate problemele de Statistică descriptivă →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Statistică descriptivă cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.