MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Studiați funcția: determinați domeniul de definiție, derivata întâi, intervalele de monotonie, punctele de extrem, derivata a doua, convexitatea, asimptotele și schițați graficul.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Domeniul de definiție este (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x>0 și numitorul nu se anulează pe acest interval.
22 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=1⋅x−ln⁡x⋅1x2=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}.
32 puncte
Găsim punctele critice: f′(x)=0⇒1−ln⁡x=0⇒x=ef'(x)=0 \Rightarrow 1 - \ln x = 0 \Rightarrow x=e. Studiind semnul derivatei, pentru x∈(0,e)x \in (0,e), f′(x)>0f'(x)>0 (funcție crescătoare), iar pentru x∈(e,∞)x \in (e,\infty), f′(x)<0f'(x)<0 (funcție descrescătoare). Punctul x=ex=e este maxim local, f(e)=1ef(e)=\frac{1}{e}.
42 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=−1/x⋅x2−(1−ln⁡x)⋅2xx4=−x−2x+2xln⁡xx4=−3+2ln⁡xx3f''(x) = \frac{-1/x \cdot x^2 - (1-\ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \ln x}{x^4} = \frac{-3 + 2\ln x}{x^3}. Punctul de inflexiune: f′′(x)=0⇒−3+2ln⁡x=0⇒x=e3/2f''(x)=0 \Rightarrow -3 + 2\ln x = 0 \Rightarrow x=e^{3/2}. Convexitatea: pentru x∈(0,e3/2)x \in (0,e^{3/2}), f′′(x)<0f''(x)<0 (concavă), pentru x∈(e3/2,∞)x \in (e^{3/2},\infty), f′′(x)>0f''(x)>0 (convexă).
52 puncte
Asimptote: Asimptotă verticală: x=0x=0 (limita la dreapta: lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty). Asimptotă orizontală: lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală.
61 punct
Schița graficului pe baza informațiilor obținute.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.