GreuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

GreuPrimitiveArii și volumeStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x4+1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1}. Determinați o primitivă a funcției ff și calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g(x)=∫0xf(t)dtg(x) = \int_0^x f(t) dt, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se determină o primitivă a lui ff. Observăm că f(x)=x2+1x4+1f(x) = \frac{x^2+1}{x^4+1}. Se poate scrie: ∫x2+1x4+1dx=∫1+1x2x2+1x2dx=∫d(x−1x)(x−1x)2+2\int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx = \int \frac{d\left(x - \frac{1}{x}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2}. Folosind substituția u=x−1xu = x - \frac{1}{x}, obținem ∫duu2+2=12arctan⁡(u2)+C\int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C. Deci o primitivă este F(x)=12arctan⁡(x−1x2)+CF(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right) + C.
23 puncte
Funcția g(x)g(x) este g(x)=∫0xf(t)dt=F(x)−F(0)g(x) = \int_0^x f(t) dt = F(x) - F(0). Calculăm F(0)F(0): lim⁡x→0+x−1x2=−∞\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}} = -\infty, deci arctan⁡(−∞)=−π2\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}. Astfel, F(0)=12⋅(−π2)+C=−π22+CF(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) + C = -\frac{\pi}{2\sqrt{2}} + C. Pentru simplitate, alegem C=0C=0, atunci g(x)=12arctan⁡(x−1x2)+π22g(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right) + \frac{\pi}{2\sqrt{2}}.
33 puncte
Aria cerută este A=∫01g(x)dxA = \int_0^1 g(x) dx. Deoarece g(x)g(x) este pozitivă pe [0,1][0,1], calculăm integrala. Se poate folosi integrarea prin părți sau observa că ∫01g(x)dx=∫01(12arctan⁡(x−1x2)+π22)dx\int_0^1 g(x) dx = \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right) + \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \right) dx. Evaluând, se obține A=π42+12ln⁡(2)A = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln(2) (se acceptă orice formă echivalentă simplificată).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.