MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: ∣x−1∣+2x=3|x-1| + \sqrt{2x} = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se stabilește condiția de existență a radicalului: 2x≥0⇒x≥02x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0.
22 puncte
Se consideră cazul x≥1x \geq 1: ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1, ecuația devine x−1+2x=3⇒2x=4−xx-1 + \sqrt{2x} = 3 \Rightarrow \sqrt{2x} = 4-x. Deoarece 2x≥0\sqrt{2x} \geq 0, trebuie 4−x≥0⇒x≤44-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4, deci 1≤x≤41 \leq x \leq 4.
33 puncte
Se ridică la pătrat: 2x=(4−x)2=16−8x+x2⇒x2−10x+16=02x = (4-x)^2 = 16 - 8x + x^2 \Rightarrow x^2 -10x +16=0. Ecuația are soluțiile x=2x=2 și x=8x=8. Din condiția 1≤x≤41 \leq x \leq 4, se păstrează doar x=2x=2.
42 puncte
Se consideră cazul x<1x < 1: ∣x−1∣=1−x|x-1| = 1-x, ecuația devine 1−x+2x=3⇒2x=x+21-x + \sqrt{2x} = 3 \Rightarrow \sqrt{2x} = x+2. Deoarece x≥0x \geq 0 și x<1x<1, avem 0≤x<10 \leq x < 1. Se ridică la pătrat: 2x=(x+2)2=x2+4x+4⇒x2+2x+4=02x = (x+2)^2 = x^2 +4x+4 \Rightarrow x^2 +2x+4=0. Discriminantul este Δ=4−16=−12<0\Delta = 4 - 16 = -12 < 0, deci nu există soluții reale.
51 punct
Se verifică x=2x=2 în ecuația inițială: ∣2−1∣+2⋅2=1+4=1+2=3|2-1| + \sqrt{2 \cdot 2} = 1 + \sqrt{4} = 1+2=3, adevărat. Deci soluția este x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.