MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La un joc, probabilitatea de a câștiga la prima încercare este pp, unde 0<p<10 < p < 1. Dacă se pierde la o încercare, probabilitatea de a câștiga la următoarea încercare se dublează față de cea precedentă, formând o progresie geometrică. a) Exprimați probabilitățile de a câștiga la a doua și a treia încercare în funcție de pp. b) Calculați probabilitatea de a câștiga în cel mult 3 încercări. c) Pentru p=14p = \frac{1}{4}, determinați probabilitatea ca jucătorul să câștige exact la a doua încercare.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea probabilităților pentru a doua și a treia încercare. Probabilitatea de a câștiga la prima încercare este pp. Dacă se pierde la prima încercare (cu probabilitate 1−p1-p), probabilitatea de a câștiga la a doua încercare este 2p2p, deci probabilitatea de a câștiga exact la a doua încercare este (1−p)⋅2p(1-p) \cdot 2p. Similar, probabilitatea de a câștiga exact la a treia încercare: se pierde la primele două (probabilitate (1−p)(1−2p)(1-p)(1-2p)), iar probabilitatea de câștig la a treia încercare este 4p4p, deci probabilitatea este (1−p)(1−2p)⋅4p(1-p)(1-2p) \cdot 4p.\n
24 puncte
Calculul probabilității de a câștiga în cel mult 3 încercări. Aceasta este suma probabilităților de a câștiga exact la prima, a doua sau a treia încercare: P=p+(1−p)⋅2p+(1−p)(1−2p)⋅4pP = p + (1-p) \cdot 2p + (1-p)(1-2p) \cdot 4p. Se simplifică expresia: P=p+2p(1−p)+4p(1−p)(1−2p)=p[1+2(1−p)+4(1−p)(1−2p)]=p[1+2−2p+4(1−3p+2p2)]=p[3−2p+4−12p+8p2]=p[7−14p+8p2]=8p3−14p2+7pP = p + 2p(1-p) + 4p(1-p)(1-2p) = p[1 + 2(1-p) + 4(1-p)(1-2p)] = p[1 + 2 - 2p + 4(1 - 3p + 2p^2)] = p[3 - 2p + 4 - 12p + 8p^2] = p[7 - 14p + 8p^2] = 8p^3 - 14p^2 + 7p.\n
33 puncte
Pentru p=14p = \frac{1}{4}, probabilitatea de a câștiga exact la a doua încercare este (1−p)⋅2p=(1−14)⋅2⋅14=34⋅12=38(1-p) \cdot 2p = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.