MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}. a) Determinați asimptotele funcției ff. b) Calculați derivata f′f' și determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem. c) Calculați derivata a doua f′′f'' și determinați intervalele de convexitate/concavitate. d) Reprezentați grafic funcția ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
a) Asimptote: verticală x=1x = 1, oblică y=x+1y = x + 1. Calculul limitelor pentru asimptota verticală: lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty. Pentru oblică: m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 1, n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=1n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = 1.
23 puncte
b) Derivata f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}. Rădăcinile x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}. Tabel de semn: f′f' pozitivă pe (−∞,1−2)(-\infty, 1 - \sqrt{2}) și (1+2,∞)(1 + \sqrt{2}, \infty) (crescătoare), negativă pe (1−2,1)(1 - \sqrt{2}, 1) și (1,1+2)(1, 1 + \sqrt{2}) (descrescătoare). Maxim local în x=1−2x = 1 - \sqrt{2}, minim local în x=1+2x = 1 + \sqrt{2}.
32 puncte
c) Derivata a doua f′′(x)=4(x−1)3f''(x) = \frac{4}{(x - 1)^3}. Semn: pozitivă pentru x>1x > 1 (convexă), negativă pentru x<1x < 1 (concavă).
42 puncte
d) Reprezentare grafică corectă, indicând asimptotele, punctele de extrem (1−2,f(1−2))(1 - \sqrt{2}, f(1 - \sqrt{2})) și (1+2,f(1+2))(1 + \sqrt{2}, f(1 + \sqrt{2})), și forma conform convexității.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.