MediuProcenteClasa 10

Problemă rezolvată de Procente

MediuProcenteAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatematică financiară
Un produs costă inițial 1000 de lei. După o scumpire cu p%p\%, prețul crește, iar apoi o ieftinire cu q%q\% aduce prețul la 1056 de lei. Știind că pp și qq sunt numere naturale și că p>qp > q, să se determine pp și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie ecuația corespunzătoare modificărilor procentuale succesive: 1000⋅(1+p100)⋅(1−q100)=10561000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{q}{100}\right) = 1056.
22 puncte
Se simplifică ecuația împărțind ambii membri la 8, obținând: 125⋅(1+p100)⋅(1−q100)=132125 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{q}{100}\right) = 132, sau se poate lucra direct: (1+p100)⋅(1−q100)=1.056\left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{q}{100}\right) = 1.056.
34 puncte
Se notează x=p100x = \frac{p}{100} și y=q100y = \frac{q}{100}, deci (1+x)(1−y)=1.056(1+x)(1-y)=1.056. Deoarece pp și qq sunt naturale, xx și yy sunt fracții cu numitorul 100. Ecuația devine (1+x)(1−y)=1.056(1+x)(1-y)=1.056. Se poate încerca factorizarea sau rezolvarea sistematică: 1−y+x−xy=1.056⇒x−y−xy=0.0561 - y + x - xy = 1.056 \Rightarrow x - y - xy = 0.056. Înmulțind cu 10000 pentru a elimina zecimalele: 100x−100y−xy⋅10000=560100x - 100y - xy \cdot 10000 = 560. Dar xy=pq10000xy = \frac{pq}{10000}, deci ecuația este 100(p/100)−100(q/100)−pq/100=5.6100(p/100) - 100(q/100) - pq/100 = 5.6, mai simplu: p−q−pq100=5.6p - q - \frac{pq}{100} = 5.6. Înmulțind cu 100: 100p−100q−pq=560100p - 100q - pq = 560. Rearanjând: pq−100p+100q+560=0pq - 100p + 100q + 560 = 0. Se adaugă 10000 de o parte și alta pentru a factoriza: (p−100)(q−100)=10000−560=9440(p-100)(q-100) = 10000 - 560 = 9440. Factorii lui 9440 care dau p>qp>q și p, q naturale: de exemplu, 9440 = 80 * 118, deci p-100=118 și q-100=80, adică p=218, q=180, dar p și q ar fi prea mari. Se testează factori mai mici: 9440 = 40 * 236, p=336, q=140; 9440 = 20 * 472, p=572, q=120; 9440 = 10 * 944, p=1044, q=110; niciunul nu dă p și q naturale rezonabile. O abordare mai simplă: din (1+x)(1−y)=1.056(1+x)(1-y)=1.056, se poate scrie 1−y=1.0561+x1-y = \frac{1.056}{1+x}. Cum x și y sunt mici (p, q probabil sub 50), se poate încerca p=20, atunci 1+x=1.2, 1-y=1.056/1.2=0.88, deci y=0.12, q=12, și p>q. Se verifică: 10001.20.88=1056. Așadar, p=20, q=12.
42 puncte
Se verifică că p=20 și q=12 sunt numere naturale, p>q, și că 1000 * 1.2 * 0.88 = 1056, deci soluția este corectă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Procente

Ușor#1ProcenteMatematică aplicatăEcuații exponentiale
O bancă oferă un depozit cu dobândă compusă anuală de 5%. Un client depune 1000 u.m. pe o perioadă de nn ani. Dacă după nn ani suma acumulată este de 1276.28 u.m., determinați numărul de ani nn și calculați suma după încă 3 ani, presupunând că dobânda rămâne aceeași.
Ușor#2ProcenteMatematică aplicatăȘiruri de numere reale
O investiție inițială de 5000 de lei este plasată la o rată anuală de dobândă de 6%, compusă anual. Determinați suma acumulată după 5 ani și timpul necesar pentru ca investiția să se dubleze. Presupuneți că nu se fac alte depuneri sau retrageri.
Ușor#3ProcenteMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu o rată anuală de 5%5\%. Determinați suma disponibilă după 10 ani, dacă dobânda se capitalizează anual. În plus, dacă după 5 ani se retrag 20002000 de lei, calculați ce sumă va avea la finalul celor 10 ani.
Ușor#4ProcenteMatematică financiarăLogaritmi
Un investitor depune o sumă de 10.000 lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă cu o rată anuală de 5%. a) După câți ani suma inițială se va dubla? b) Ce sumă va avea investitorul după 10 ani?
Vezi toate problemele de Procente →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Procente cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.