MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Determinați valorile extreme ale funcției pe intervalul [0,2π][0, 2\pi] și studiați convexitatea acesteia pe acest interval.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Derivata întâi: f′(x)=e−x(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x).
23 puncte
Punctele critice: f′(x)=0⇒cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=1⇒x=π4+kπf'(x)=0 \Rightarrow \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi. Pe [0,2π][0, 2\pi], x=π4,5π4x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}.
33 puncte
Valorile extreme: calculăm f(π4)=22e−π/4f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\pi/4} (maxim local) și f(5π4)=−22e−5π/4f(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-5\pi/4} (minim local). Verificarea semnului derivatei în jurul acestor puncte confirmă natura lor.
42 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=e−x(−2cos⁡x)f''(x) = e^{-x}(-2\cos x). Semnul lui f′′(x)f''(x) pe [0,2π][0, 2\pi]: pozitiv când cos⁡x<0\cos x < 0, adică pe (π2,3π2)(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}), deci funcția este convexă pe acest interval; concavă pe [0,π2)∪(3π2,2π][0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.