MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeProgresii Geometrice
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică cu raţia rr și (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu raţia qq, unde a1=b1=1a_1 = b_1 = 1. Dacă a3+b3=10a_3 + b_3 = 10 și a5+b5=26a_5 + b_5 = 26, determinați rr și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți termenii generali: an=1+(n−1)ra_n = 1 + (n-1)r, bn=qn−1b_n = q^{n-1}.\n
23 puncte
Formați sistemul de ecuații: 1+2r+q2=101 + 2r + q^2 = 10 și 1+4r+q4=261 + 4r + q^4 = 26.\n
32 puncte
Simplificați la 2r+q2=92r + q^2 = 9 și 4r+q4=254r + q^4 = 25.\n
42 puncte
Rezolvați sistemul: din q2=9−2rq^2 = 9 - 2r, substituiți în a doua ecuație: 4r+(9−2r)2=254r + (9 - 2r)^2 = 25, obțineți 4r2−32r+56=04r^2 - 32r + 56 = 0, deci r2−8r+14=0r^2 - 8r + 14 = 0. Soluțiile sunt r=4±2r = 4 \pm \sqrt{2}. Pentru r=4−2r = 4 - \sqrt{2}, q2=1+22>0q^2 = 1 + 2\sqrt{2} > 0, deci q=±1+22q = \pm \sqrt{1 + 2\sqrt{2}}. Pentru r=4+2r = 4 + \sqrt{2}, q2=1−22<0q^2 = 1 - 2\sqrt{2} < 0, excluzându-se deoarece qq trebuie să fie real. Astfel, r=4−2r = 4 - \sqrt{2} și q=±1+22q = \pm \sqrt{1 + 2\sqrt{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.