MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} astfel încât x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie aritmetică și xn+2=xn+1+xn2x_{n+2} = \frac{x_{n+1} + x_n}{2} pentru n≥1n \geq 1. Dacă x1=5x_1 = 5 și x3=9x_3 = 9, determinați termenul general xnx_n și calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Din condiția că x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie aritmetică, avem 2x2=x1+x32x_2 = x_1 + x_3, deci 2x2=5+9=142x_2 = 5 + 9 = 14, astfel x2=7x_2 = 7.
25 puncte
Rezolvăm relația de recurență xn+2=xn+1+xn2x_{n+2} = \frac{x_{n+1} + x_n}{2}. Considerăm șirul (yn)(y_n) cu yn=xn+1−xny_n = x_{n+1} - x_n. Atunci yn+1=xn+2−xn+1=xn+1+xn2−xn+1=xn−xn+12=−12yny_{n+1} = x_{n+2} - x_{n+1} = \frac{x_{n+1} + x_n}{2} - x_{n+1} = \frac{x_n - x_{n+1}}{2} = -\frac{1}{2} y_n. Deci (yn)(y_n) este o progresie geometrică cu rația −12-\frac{1}{2}. Cum y1=x2−x1=7−5=2y_1 = x_2 - x_1 = 7 - 5 = 2, avem yn=2⋅(−12)n−1y_n = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}. Apoi, xn=x1+∑k=1n−1yk=5+∑k=1n−12⋅(−12)k−1=5+2⋅1−(−12)n−11−(−12)=5+43(1−(−12)n−1)=193−43(−12)n−1x_n = x_1 + \sum_{k=1}^{n-1} y_k = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 5 + 2 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = 5 + \frac{4}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) = \frac{19}{3} - \frac{4}{3} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}.
33 puncte
Calculăm limita: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞(193−43(−12)n−1)=193\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{19}{3} - \frac{4}{3} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right) = \frac{19}{3}, deoarece (−12)n−1→0\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \to 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.