MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} o progresie aritmetică. Dacă a1+a2+a3=12a_1 + a_2 + a_3 = 12 și a12+a22+a32=56a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 56, aflați valorile posibile pentru a1a_1 și rația dd.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei: a1=aa_1 = a, a2=a+da_2 = a+d, a3=a+2da_3 = a+2d.
21 punct
Din prima ecuație: a+(a+d)+(a+2d)=12a + (a+d) + (a+2d) = 12 ⇒\Rightarrow 3a+3d=123a + 3d = 12 ⇒\Rightarrow a+d=4a + d = 4.
34 puncte
Din a doua ecuație: a2+(a+d)2+(a+2d)2=56a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 = 56. Înlocuim d=4−ad = 4 - a din step 2: a2+(a+4−a)2+(a+2(4−a))2=56a^2 + (a + 4 - a)^2 + (a + 2(4 - a))^2 = 56 ⇒\Rightarrow a2+42+(a+8−2a)2=56a^2 + 4^2 + (a + 8 - 2a)^2 = 56 ⇒\Rightarrow a2+16+(8−a)2=56a^2 + 16 + (8 - a)^2 = 56 ⇒\Rightarrow a2+16+64−16a+a2=56a^2 + 16 + 64 - 16a + a^2 = 56 ⇒\Rightarrow 2a2−16a+80=562a^2 - 16a + 80 = 56 ⇒\Rightarrow 2a2−16a+24=02a^2 - 16a + 24 = 0 ⇒\Rightarrow a2−8a+12=0a^2 - 8a + 12 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: a2−8a+12=0a^2 - 8a + 12 = 0 ⇒\Rightarrow Δ=64−48=16\Delta = 64 - 48 = 16, a1,2=8±42a_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{2}, deci a=6a = 6 sau a=2a = 2. Pentru a=6a=6, din a+d=4a+d=4 avem d=−2d= -2. Pentru a=2a=2, avem d=2d=2.
51 punct
Concluzie: Soluțiile sunt (a1,d)=(6,−2)(a_1, d) = (6, -2) și (a1,d)=(2,2)(a_1, d) = (2, 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.