MediuStatistică descriptivăClasa 11

Problemă rezolvată de Statistică descriptivă

MediuStatistică descriptivăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Se consideră un set de date numerice x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n cu media aritmetică xˉ=10\bar{x} = 10 și deviația standard s=2s = 2. Dacă se adaugă o nouă valoare aa la set, media aritmetică a noului set devine 1111 și deviația standard devine 6\sqrt{6}. Determinați valoarea aa și numărul inițial de date nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem formulele pentru media și varianță. Media inițială: xˉ=∑i=1nxin=10\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = 10, deci ∑i=1nxi=10n\sum_{i=1}^n x_i = 10n. Varianța inițială: s2=∑i=1n(xi−10)2n=4s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - 10)^2}{n} = 4, deci ∑i=1n(xi−10)2=4n\sum_{i=1}^n (x_i - 10)^2 = 4n.
23 puncte
După adăugarea valorii aa, avem n+1n+1 date. Noua medie: ∑i=1nxi+an+1=11\frac{\sum_{i=1}^n x_i + a}{n+1} = 11, deci 10n+a=11(n+1)⇒a=n+1110n + a = 11(n+1) \Rightarrow a = n + 11. Noua varianță: ∑i=1n(xi−11)2+(a−11)2n+1=6\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - 11)^2 + (a - 11)^2}{n+1} = 6.
34 puncte
Calculăm ∑i=1n(xi−11)2=∑i=1n[(xi−10)−1]2=∑i=1n(xi−10)2−2∑i=1n(xi−10)+n\sum_{i=1}^n (x_i - 11)^2 = \sum_{i=1}^n [(x_i - 10) - 1]^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - 10)^2 - 2\sum_{i=1}^n (x_i - 10) + n. Dar ∑i=1n(xi−10)=∑xi−10n=10n−10n=0\sum_{i=1}^n (x_i - 10) = \sum x_i - 10n = 10n - 10n = 0, și ∑(xi−10)2=4n\sum (x_i - 10)^2 = 4n. Așadar, ∑i=1n(xi−11)2=4n+n=5n\sum_{i=1}^n (x_i - 11)^2 = 4n + n = 5n. Înlocuim în ecuația varianței: 5n+(a−11)2n+1=6\frac{5n + (a - 11)^2}{n+1} = 6. Știm a=n+11a = n + 11, deci (a−11)2=n2(a - 11)^2 = n^2. Obținem 5n+n2n+1=6⇒n2+5n=6n+6⇒n2−n−6=0⇒n=3\frac{5n + n^2}{n+1} = 6 \Rightarrow n^2 + 5n = 6n + 6 \Rightarrow n^2 - n - 6 = 0 \Rightarrow n=3 sau n=−2n=-2. Cum nn este număr natural, avem n=3n=3. Atunci a=3+11=14a = 3 + 11 = 14.
41 punct
Verificare: Pentru n=3n=3 și a=14a=14, media inițială este 10, deviația standard 2; după adăugare, media este 10⋅3+144=444=11\frac{10 \cdot 3 + 14}{4} = \frac{44}{4}=11, și varianța 5⋅3+324=15+94=244=6\frac{5 \cdot 3 + 3^2}{4} = \frac{15+9}{4} = \frac{24}{4}=6, deci deviația standard 6\sqrt{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Statistică descriptivă

Ușor#1Statistică descriptivăProbabilități
Rezultatele unui test la matematică pentru 100 de elevi au o medie de 75 de puncte și o abatere standard de 10 puncte, distribuite normal. Aflați probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să obțină între 70 și 80 de puncte. În plus, determinați numărul așteptat de elevi care obțin peste 85 de puncte.
Ușor#2Statistică descriptivăProbabilitățiMatematică aplicată
Un sondaj privind venitul lunar al familiilor dintr-un oraș a arătat că media este de 5000 lei și abaterea standard este de 1000 lei. Presupunând că venitul urmează o distribuție normală, calculați probabilitatea ca o familie aleasă aleatoriu să aibă un venit între 4000 și 6000 lei. Utilizați tabelul valorilor funcției Laplace, unde Φ(1)=0.3413\Phi(1) = 0.3413.
Ușor#3Statistică descriptivăMatematică aplicată
Se înregistrează timpii de reacție (în milisecunde) pentru 15 subiecți: 210, 215, 208, 212, 220, 205, 218, 214, 209, 213, 217, 211, 216, 207, 219. Calculați media, mediana, modul și deviația standard a acestor date. Analizați simetria distribuției.
Mediu#4Statistică descriptivăMatematică aplicată
O companie a înregistrat venituri lunare (în mii de lei) pe un an: [12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40][12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40]. Calculați media, dispersia și abaterea standard a acestor venituri. Apoi, determinați intervalul de încredere pentru media populației, presupunând că datele provin dintr-o distribuție normală și nivelul de încredere este de 95%95\%. (Se cunoaște că pentru 1111 grade de libertate, valoarea-tt este 2.2012.201.)
Vezi toate problemele de Statistică descriptivă →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Statistică descriptivă cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.