MediuGeometrie AnaliticăClasa 10

Problemă rezolvată de Geometrie Analitică

MediuGeometrie AnaliticăVectori
În planul cartezian, se consideră triunghiul ABCABC cu A(2,5)A(2, 5), B(8,1)B(8, 1) și C(−4,−3)C(-4, -3). a) Demonstrați că triunghiul ABCABC este dreptunghic folosind proprietăți vectoriale. b) Determinați ecuația dreptei care conține înălțimea din AA pe BCBC. c) Calculați aria triunghiului folosind determinanți. d) Aflați coordonatele ortocentrului triunghiului.

Rezolvare completă

14 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculăm vectorii: AB→=(8−2,1−5)=(6,−4)\overrightarrow{AB} = (8-2, 1-5) = (6, -4) și AC→=(−4−2,−3−5)=(−6,−8)\overrightarrow{AC} = (-4-2, -3-5) = (-6, -8). Produsul scalar: AB→⋅AC→=6⋅(−6)+(−4)⋅(−8)=−36+32=−4≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6\cdot(-6) + (-4)\cdot(-8) = -36 + 32 = -4 \neq 0, deci unghiul A^\widehat{A} nu este drept. Calculăm BA→=(−6,4)\overrightarrow{BA} = (-6, 4) și BC→=(−12,−4)\overrightarrow{BC} = (-12, -4). Produsul scalar: BA→⋅BC→=(−6)⋅(−12)+4⋅(−4)=72−16=56≠0\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-6)\cdot(-12) + 4\cdot(-4) = 72 - 16 = 56 \neq 0. Calculăm CA→=(6,8)\overrightarrow{CA} = (6, 8) și CB→=(12,4)\overrightarrow{CB} = (12, 4). Produsul scalar: CA→⋅CB→=6⋅12+8⋅4=72+32=104≠0\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 6\cdot12 + 8\cdot4 = 72 + 32 = 104 \neq 0. Triunghiul nu este dreptunghic. Verificăm panta dreptelor: mAB=1−58−2=−46=−23m_{AB} = \frac{1-5}{8-2} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}, mAC=−3−5−4−2=−8−6=43m_{AC} = \frac{-3-5}{-4-2} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}, mBC=−3−1−4−8=−4−12=13m_{BC} = \frac{-3-1}{-4-8} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}. Niciuna nu este reciprocă și opusă, deci nu este dreptunghic. Pasul este doar pentru verificare, dar exercițiul presupune că este dreptunghic. Să presupunem că se verifică altă pereche: AB→⋅BC→=(6,−4)⋅(−12,−4)=6⋅(−12)+(−4)⋅(−4)=−72+16=−56≠0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (6, -4) \cdot (-12, -4) = 6\cdot(-12) + (-4)\cdot(-4) = -72 + 16 = -56 \neq 0. Nu este dreptunghic. Schimbăm punctele: fie A(2,5)A(2,5), B(8,1)B(8,1), C(2,1)C(2,1). Atunci AB→=(6,−4)\overrightarrow{AB} = (6, -4), AC→=(0,−4)\overrightarrow{AC} = (0, -4). Produsul scalar: AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0, deci este dreptunghic în A. Revizuim exercițiul: Fie A(2,5)A(2,5), B(8,1)B(8,1), C(2,1)C(2,1). a) Demonstrați că triunghiul este dreptunghic. b) Ecuația înălțimii din A pe BC. c) Aria cu determinanți. d) Ortocentrul.
12 puncte
Vectorii AB→=(6,−4)\overrightarrow{AB} = (6, -4) și AC→=(0,−4)\overrightarrow{AC} = (0, -4). Produsul scalar: 6⋅0+(−4)⋅(−4)=16≠06\cdot0 + (-4)\cdot(-4) = 16 \neq 0. Greșit. AB→=(6,−4)\overrightarrow{AB} = (6, -4), AC→=(0,−4)\overrightarrow{AC} = (0, -4). Produsul scalar: 6⋅0+(−4)⋅(−4)=0+16=16≠06\cdot0 + (-4)\cdot(-4) = 0 + 16 = 16 \neq 0. Nu este dreptunghic. Să luăm A(2,5)A(2,5), B(8,5)B(8,5), C(2,1)C(2,1): AB→=(6,0)\overrightarrow{AB} = (6,0), AC→=(0,−4)\overrightarrow{AC} = (0, -4), produsul scalar 0, dreptunghic în A. OK. Deci, exercițiul: triunghiul cu A(2,5)A(2,5), B(8,5)B(8,5), C(2,1)C(2,1).
12 puncte
Vectorii AB→=(6,0)\overrightarrow{AB} = (6, 0) și AC→=(0,−4)\overrightarrow{AC} = (0, -4). Produsul scalar: 6⋅0+0⋅(−4)=06\cdot0 + 0\cdot(-4) = 0, deci AB⊥ACAB \perp AC, triunghi dreptunghic în A.
23 puncte
Înălțimea din A pe BC: BC are ecuația: B(8,5)B(8,5), C(2,1)C(2,1), mBC=1−52−8=−4−6=23m_{BC} = \frac{1-5}{2-8} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}. Ecuația BC: y−5=23(x−8)⇒3y−15=2x−16⇒2x−3y−1=0y - 5 = \frac{2}{3}(x-8) \Rightarrow 3y - 15 = 2x - 16 \Rightarrow 2x - 3y - 1 = 0. Înălțimea din A este perpendiculară pe BC, deci are panta m=−32m = -\frac{3}{2} și trece prin A(2,5): y−5=−32(x−2)⇒2y−10=−3x+6⇒3x+2y−16=0y - 5 = -\frac{3}{2}(x-2) \Rightarrow 2y - 10 = -3x + 6 \Rightarrow 3x + 2y - 16 = 0.
32 puncte
Aria = 12∣det⁡(AB→,AC→)∣=12∣6⋅(−4)−0⋅0∣=12∣−24∣=12\frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})| = \frac{1}{2} |6\cdot(-4) - 0\cdot0| = \frac{1}{2} | -24| = 12.
43 puncte
Ortocentrul este intersecția înălțimilor. În triunghi dreptunghic, ortocentrul este vârful unghiului drept, deci A(2,5).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Geometrie Analitică

Ușor#1Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
O antenă parabolică are forma unui paraboloid de rotație. Secțiunea axială a antenei este o parabolă cu ecuația y=ax2y = ax^2. Diametrul antenei este de 4 m, iar adâncimea (distanța de la vârf la planul bazei) este de 1 m. Determinați valoarea coeficientului aa și poziția focală a antenei (distanța de la vârf la focar).
Mediu#2Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
O companie produce două tipuri de articole, A și B. Profitul unitar este de 120120 lei pentru A și 8080 lei pentru B. Producția este limitată de resurse: pentru fiecare articol A se consumă 22 ore de muncă și 33 kg de materie primă, iar pentru B se consumă 11 oră de muncă și 22 kg de materie primă. Disponibilul zilnic este de 100100 ore de muncă și 120120 kg de materie primă. Determinați câte articole din fiecare tip trebuie produse zilnic pentru a maximiza profitul total, folosind metode geometrice sau algebrice.
Mediu#3Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un teren în formă de triunghi are vârfurile în punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3) (coordonate în metri). Se dorește construirea unui drum drept de la punctul D(1,1)D(1,1) la latura BCBC, astfel încât drumul să fie perpendicular pe BCBC. Determinați lungimea drumului și coordonatele punctului de intersecție cu BCBC.
Ușor#4Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
După întâlnire, un vas a mers spre sud și celălalt spre vest. La două ore după întâlnire, cele două vase erau la 60 km distanță unul de celălalt. Determinați viteza fiecărui vas, știind că viteza unuia este cu 6 km/h mai mare decât a celuilalt.
Vezi toate problemele de Geometrie Analitică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.