Probleme de Geometrie Analitică — Clasa a 10-a

Exerciții pentru școalăGeometrie • 394 probleme cu rezolvări complete
Teorie Geometrie Analitică — Formule si exemple rezolvate

Geometria analitică folosește coordonate carteziene pentru studiul figurilor geometrice. Include ecuația dreptei, cercului, distanțe și arii calculate analitic.

Verificat de profesori de matematică

Ușor

28

probleme

Mediu

64

probleme

Grile de Geometrie Analitică

302 întrebări cu variante de răspuns

→

Exemple de probleme

Ușor#1Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
O antenă parabolică are forma unui paraboloid de rotație. Secțiunea axială a antenei este o parabolă cu ecuația y=ax2y = ax^2. Diametrul antenei este de 4 m, iar adâncimea (distanța de la vârf la planul bazei) este de 1 m. Determinați valoarea coeficientului aa și poziția focală a antenei (distanța de la vârf la focar).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Considerăm parabola y=ax2y = ax^2. Diametrul de 4 m înseamnă că la y=1y = 1 (adâncimea), avem x=±2x = \pm 2 (jumătate din diametru). Deci, punctul (2,1)(2,1) se află pe parabolă.
23 puncte
Ecuația focarului pentru parabola y=ax2y = ax^2 este F(0,14a)F(0, \frac{1}{4a}).
32 puncte
Substituim punctul (2,1)(2,1) în ecuație: 1=a⋅22⇒1=4a⇒a=141 = a \cdot 2^2 \Rightarrow 1 = 4a \Rightarrow a = \frac{1}{4}.
42 puncte
Poziția focală este distanța de la vârf (0,0)(0,0) la focar: 14a=14⋅14=1\frac{1}{4a} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1 m. Deci focarul este la 1 m de vârf.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#2Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
O companie produce două tipuri de articole, A și B. Profitul unitar este de 120120 lei pentru A și 8080 lei pentru B. Producția este limitată de resurse: pentru fiecare articol A se consumă 22 ore de muncă și 33 kg de materie primă, iar pentru B se consumă 11 oră de muncă și 22 kg de materie primă. Disponibilul zilnic este de 100100 ore de muncă și 120120 kg de materie primă. Determinați câte articole din fiecare tip trebuie produse zilnic pentru a maximiza profitul total, folosind metode geometrice sau algebrice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definirea variabilelor: fie xx numărul de articole A, yy numărul de articole B. Restricțiile: 2x+y≤1002x + y \leq 100 (ore muncă), 3x+2y≤1203x + 2y \leq 120 (materie primă), x≥0x \geq 0, y≥0y \geq 0. Funcția obiectiv: P(x,y)=120x+80yP(x,y) = 120x + 80y.
23 puncte
Reprezentarea grafică a restricțiilor: dreptele 2x+y=1002x+y=100 și 3x+2y=1203x+2y=120; intersecții cu axele și între ele. Găsirea vârfurilor regiunii admisibile: (0,0)(0,0), (0,50)(0,50), (40,0)(40,0), (20,30)(20,30) din rezolvarea sistemului {2x+y=1003x+2y=120\begin{cases} 2x+y=100 \\ 3x+2y=120 \end{cases}.
33 puncte
Evaluarea funcției obiectiv în vârfuri: P(0,0)=0P(0,0)=0, P(0,50)=4000P(0,50)=4000, P(40,0)=4800P(40,0)=4800, P(20,30)=120⋅20+80⋅30=2400+2400=4800P(20,30)=120\cdot20+80\cdot30=2400+2400=4800.
42 puncte
Maximul este 48004800 lei, obținut pentru (40,0)(40,0) și (20,30)(20,30); interpretare: se pot produce fie 4040 A și 00 B, fie 2020 A și 3030 B pentru profit maxim.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#3Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un teren în formă de triunghi are vârfurile în punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3) (coordonate în metri). Se dorește construirea unui drum drept de la punctul D(1,1)D(1,1) la latura BCBC, astfel încât drumul să fie perpendicular pe BCBC. Determinați lungimea drumului și coordonatele punctului de intersecție cu BCBC.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Găsiți ecuația dreptei BCBC. Coordonatele: B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3). Panta mBC=3−02−4=3−2=−32m_{BC} = \frac{3-0}{2-4} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}. Ecuația: y−0=−32(x−4)y - 0 = -\frac{3}{2}(x-4), adică y=−32x+6y = -\frac{3}{2}x + 6.
22 puncte
Panta dreptei perpendiculare pe BCBC este m⊥=23m_{\perp} = \frac{2}{3} (deoarece mBC⋅m⊥=−1m_{BC} \cdot m_{\perp} = -1).
32 puncte
Ecuația dreptei prin D(1,1)D(1,1) cu panta 23\frac{2}{3}: y−1=23(x−1)y - 1 = \frac{2}{3}(x-1), adică y=23x+13y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}.
42 puncte
Găsiți punctul de intersecție EE între dreapta BCBC și perpendiculară. Rezolvați sistemul: {y=−32x+6y=23x+13\begin{cases} y = -\frac{3}{2}x + 6 \\ y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \end{cases}. Egalați: −32x+6=23x+13-\frac{3}{2}x + 6 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}. Multiplicați cu 6: −9x+36=4x+2-9x + 36 = 4x + 2, deci 13x=3413x = 34, x=3413x = \frac{34}{13}. Atunci y=−32⋅3413+6=−5113+6=−51+7813=2713y = -\frac{3}{2} \cdot \frac{34}{13} + 6 = -\frac{51}{13} + 6 = \frac{-51+78}{13} = \frac{27}{13}. Deci E(3413,2713)E\left(\frac{34}{13}, \frac{27}{13}\right).
52 puncte
Calculați distanța DEDE: DE=(3413−1)2+(2713−1)2=(2113)2+(1413)2=441169+196169=637169=49⋅13169=71313DE = \sqrt{\left(\frac{34}{13}-1\right)^2 + \left(\frac{27}{13}-1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{21}{13}\right)^2 + \left(\frac{14}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{441}{169} + \frac{196}{169}} = \sqrt{\frac{637}{169}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 13}{169}} = \frac{7\sqrt{13}}{13} metri. Răspuns: Lungimea drumului este 71313\frac{7\sqrt{13}}{13} m, iar punctul de intersecție are coordonatele (3413,2713)\left(\frac{34}{13}, \frac{27}{13}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Ușor#4Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
După întâlnire, un vas a mers spre sud și celălalt spre vest. La două ore după întâlnire, cele două vase erau la 60 km distanță unul de celălalt. Determinați viteza fiecărui vas, știind că viteza unuia este cu 6 km/h mai mare decât a celuilalt.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Notați vitezele vv și v+6v+6. După 2 h distanțele parcurse sunt 2v2v și 2(v+6)2(v+6), iar distanța euclidiană între ele este 60 km. Scrieți ecuația (2v)2+(2(v+6))2=60\sqrt{(2v)^2+(2(v+6))^2}=60.
27 puncte
Pătrați și simplificați: 4(v2+(v+6)2)=3600⇒v2+(v+6)2=9004(v^2+(v+6)^2)=3600\Rightarrow v^2+(v+6)^2=900. Rezolvați v=18 km/hv=18\ \mathrm{km/h}, respectiv v+6=24 km/hv+6=24\ \mathrm{km/h}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#5Geometrie AnaliticăDerivateAplicații ale derivatelor
Prin punctul N(2,4) se trage o dreaptă; segmentul acesteia formează un triunghi dreptunghic cu segmentele (x>0, y>0) ale axelor coordonate. Determinați lungimea catetei mai mari pentru ca aria triunghiului să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm interceptele dreptei cu axele (a,0)(a,0) și (0,b)(0,b), cu a>0,b>0a>0,b>0. Ecuația în formă de intercepte este xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1. Deoarece dreapta trece prin N(2,4)N(2,4) avem condiția 2a+4b=1\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}=1. Din aceasta exprimăm bb în funcție de aa: b=4aa−2b=\dfrac{4a}{a-2} (pentru a>2a>2, ca b>0b>0).
24 puncte
Aria triunghiului este A=12ab=12a⋅4aa−2=2a2a−2A=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}a\cdot\dfrac{4a}{a-2}=\dfrac{2a^2}{a-2}, definită pentru a>2a>2. Calculăm derivata: A′(a)=dda(2a2a−2)=2a(a−4)(a−2)2A'(a)=\dfrac{d}{da}\left(\dfrac{2a^2}{a-2}\right)=\dfrac{2a(a-4)}{(a-2)^2}. Condiția staționară A′(a)=0A'(a)=0 dă a=0a=0 sau a=4a=4; în domeniul a>2a>2 rezultă a=4a=4, iar analiza semnelor arată că este minim.
33 puncte
Pentru a=4a=4 avem b=4⋅44−2=162=8b=\dfrac{4\cdot 4}{4-2}=\dfrac{16}{2}=8. Cateta mai mare este max⁡(a,b)=8\max(a,b)=8. Concluzie: lungimea catetei mai mari pentru aria minimă este 88.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Mediu#6Geometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-lea
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și dreapta d:2x−y+3=0d: 2x - y + 3 = 0. Determinați ecuația cercului care are centrul pe dreapta dd și este tangent la dreapta ABAB și la axa OxOx.
Mediu#7Geometrie AnaliticăAplicații ale derivatelor
Fie punctele M(2,3)M(2,3) și N(5,1)N(5,1). Să se determine punctul PP pe dreapta y=x+1y = x + 1 astfel încât aria triunghiului MNPMNP să fie maximă.
Mediu#8Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie punctele A(1,2), B(4,6) și C(7,4). a) Să se determine ecuația cercului circumscris triunghiului ABC. b) Să se calculeze distanța de la centrul cercului la dreapta BC.
Mediu#9Geometrie AnaliticăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră cercul cu ecuația x2+y2−4x−6y+9=0x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 și punctul P(1,8). a) Să se determine poziția punctului P față de cerc. b) Să se scrie ecuațiile tangentelor din P la cerc.
Mediu#10Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră dreptele d1:2x−3y+1=0d_1: 2x - 3y + 1 = 0 și d2:x+4y−5=0d_2: x + 4y - 5 = 0. Aflați ecuația perpendicularei duse din punctul de intersecție al dreptelor d1d_1 și d2d_2 pe dreapta d3d_3, care trece prin punctele A(1,−2)A(1, -2) și B(3,4)B(3, 4). Determinați distanța de la punctul AA la această perpendiculară.

Și alte 82 probleme disponibile după înregistrare.

57 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Accesează toate cele 394 probleme de Geometrie Analitică cu rezolvări complete pas cu pas și corectare automată AI.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Alte capitole pentru clasa a 10-a

→Arii și volume
419 probleme
→Combinatorică
469 probleme
→Domeniul de definiție al funcțiilor
531 probleme
→Ecuații exponentiale
495 probleme
→Ecuații iraționale
340 probleme

Câștigă XP și badge-uri rezolvând probleme

Sistem de niveluri (1-20), clasament săptămânal și serie zilnică de învățare. Începe gratuit cu 50 de credite.