MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 9

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie a,b,ca, b, c numere reale pozitive. Demonstrați că ab+c+bc+a+ca+b≥32\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Considerăm suma S=ab+c+bc+a+ca+bS = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}. Aplicăm inegalitatea Cauchy-Schwarz: (ab+c+bc+a+ca+b)(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))≥(a+b+c)2( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} )(a(b+c) + b(c+a) + c(a+b)) \geq (a+b+c)^2.\n
24 puncte
Calculăm a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)a(b+c) + b(c+a) + c(a+b) = 2(ab+bc+ca). Atunci S⋅2(ab+bc+ca)≥(a+b+c)2S \cdot 2(ab+bc+ca) \geq (a+b+c)^2. Folosind (a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca), obținem S≥32S \geq \frac{3}{2}.\n
32 puncte
Concluzionăm că inegalitatea este adevărată pentru orice a,b,ca, b, c reale pozitive.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.