MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=ax_1 = a, unde a>0a > 0 este un număr real, și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Studiați monotonia și mărginirea șirului în funcție de aa, apoi determinați limita sa, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătați că dacă a≤2a \leq 2, atunci prin inducție matematică, xn≤2x_n \leq 2 pentru orice nn și șirul este crescător.
23 puncte
Arătați că dacă a>2a > 2, atunci prin inducție, xn≥2x_n \geq 2 pentru orice nn și șirul este descrescător.
33 puncte
Folosind monotonia și mărginirea, deduceți că șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, obțineți L=2+LL = \sqrt{2 + L} și rezolvați această ecuație, găsind L=2L = 2 (excludeți L=−1L = -1 deoarece xn>0x_n > 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.