MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorLogaritmiMonotonie și convexitate
Fie funcția f(x)=ln⁡(x2−4x+5)f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5). a) Determinați domeniul de definiție. b) Studiați monotonia funcției. c) Calculați valorile extreme pe intervalul [0,3][0, 3]. d) Discutați convexitatea funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniul de definiție: x2−4x+5>0x^2 - 4x + 5 > 0. Discriminantul este Δ=16−20=−4<0\Delta = 16 - 20 = -4 < 0, iar coeficientul lui x2x^2 este pozitiv, deci inecuația este întotdeauna adevărată. Domeniul este R\mathbb{R}.\n
23 puncte
Derivata: f′(x)=2x−4x2−4x+5f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}. f′(x)=0⇒2x−4=0⇒x=2f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. Semnul derivatei: f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<2x < 2 (funcție descrescătoare), f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>2x > 2 (funcție crescătoare). Intervalele de monotonie: descrescătoare pe (−∞,2)(-\infty, 2) și crescătoare pe (2,∞)(2, \infty).\n
33 puncte
Pe intervalul [0,3][0, 3], funcția are minim la x=2x=2, f(2)=ln⁡(1)=0f(2) = \ln(1) = 0. Valorile la capete: f(0)=ln⁡(5)f(0) = \ln(5), f(3)=ln⁡(2)f(3) = \ln(2). Deci maximul este ln⁡(5)\ln(5) la x=0x=0, minimul este 00 la x=2x=2.\n
43 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=2(x2−4x+5)−(2x−4)(2x−4)(x2−4x+5)2=−2x2+8x−6(x2−4x+5)2f''(x) = \frac{2(x^2 - 4x + 5) - (2x-4)(2x-4)}{(x^2 - 4x + 5)^2} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{(x^2 - 4x + 5)^2}. f′′(x)=0⇒−2x2+8x−6=0⇒x2−4x+3=0f''(x) = 0 \Rightarrow -2x^2 + 8x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0, cu soluțiile x=1x=1 și x=3x=3. Intervalele de convexitate: f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (1,3)(1,3) (funcție convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (−∞,1)(-\infty,1) și (3,∞)(3,\infty) (funcție concavă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.