MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. \ a) Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. \ b) Arătați că șirul (an)(a_n) este monoton crescător. \ c) Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificare pentru n=1: a1=1<2a_1=1<2. Presupunere inductivă: ak<2a_k<2 pentru un k∈N∗k \in \mathbb{N}^*. Atunci ak+1=2+ak<2+2=4=2a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2+2} = \sqrt{4}=2, deci ak+1<2a_{k+1}<2. Prin inducție, an<2a_n<2 pentru orice nn. \
23 puncte
Comparăm an+1a_{n+1} și ana_n: an+12−an2=(2+an)−an2=−an2+an+2a_{n+1}^2 - a_n^2 = (2+a_n) - a_n^2 = -a_n^2 + a_n + 2. Funcția f(x)=−x2+x+2f(x)=-x^2+x+2 are rădăcinile x=−1x=-1 și x=2x=2 și este pozitivă pe (−1,2)(-1,2). Cum an∈(0,2)a_n \in (0,2) (se arată ușor că an>0a_n>0), avem f(an)>0f(a_n)>0, deci an+12>an2a_{n+1}^2 > a_n^2, iar termenii fiind pozitivi, rezultă an+1>ana_{n+1} > a_n. \
34 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2+L}. Rezolvăm L2=2+L⇒L2−L−2=0⇒L=2L^2 = 2+L \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow L=2 sau L=−1L=-1. Cum termenii sunt pozitivi, L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.