MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeNumere ComplexeTrigonometrie
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1, x2=1x_2 = 1 și xn+2=xn+1−xnx_{n+2} = x_{n+1} - x_n pentru orice n≥1n \geq 1. a) Determinați termenul general al șirului. b) Demonstrați că șirul este mărginit și găsiți lim inf⁡n→∞xn\liminf_{n \to \infty} x_n și lim sup⁡n→∞xn\limsup_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem ecuația caracteristică asociată recurenței: r2−r+1=0r^2 - r + 1 = 0. Rădăcinile sunt r1=1+i32=eiπ/3r_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3} și r2=1−i32=e−iπ/3r_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} = e^{-i\pi/3}.
23 puncte
Termenul general are forma xn=Ar1n−1+Br2n−1x_n = A r_1^{n-1} + B r_2^{n-1}. Folosind forma trigonometrică, xn=Ccos⁡((n−1)π3)+Dsin⁡((n−1)π3)x_n = C \cos\left((n-1)\frac{\pi}{3}\right) + D \sin\left((n-1)\frac{\pi}{3}\right).
32 puncte
Din condițiile inițiale: pentru n=1n=1, x1=C=1x_1 = C = 1. Pentru n=2n=2, x2=cos⁡π3+Dsin⁡π3=12+D32=1x_2 = \cos\frac{\pi}{3} + D \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + D \frac{\sqrt{3}}{2} = 1, deci D=13D = \frac{1}{\sqrt{3}}. Astfel, xn=cos⁡((n−1)π3)+13sin⁡((n−1)π3)x_n = \cos\left((n-1)\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin\left((n-1)\frac{\pi}{3}\right).
43 puncte
Deoarece funcțiile cosinus și sinus sunt mărginite, avem ∣xn∣≤1+13|x_n| \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}, deci șirul este mărginit. Șirul este periodic cu perioada 6: calculând primele 6 termeni, obținem x1=1x_1=1, x2=1x_2=1, x3=0x_3=0, x4=−1x_4=-1, x5=−1x_5=-1, x6=0x_6=0, iar apoi valorile se repetă. Prin urmare, lim inf⁡n→∞xn=−1\liminf_{n \to \infty} x_n = -1 și lim sup⁡n→∞xn=1\limsup_{n \to \infty} x_n = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.