MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volumeLogaritmi
Calculați aria suprafeței plane mărginită de graficul funcției f(x)=ln⁡xx2f(x) = \frac{\ln x}{x^2}, axa Ox și dreptele x=1x=1 și x=ex=e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se determină o primitivă a funcției f(x)=ln⁡xx2f(x) = \frac{\ln x}{x^2}. Se aplică integrarea prin părți: fie u=ln⁡xu = \ln x, dv=1x2dxdv = \frac{1}{x^2} dx, atunci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=−1xv = -\frac{1}{x}. Obținem ∫ln⁡xx2dx=−ln⁡xx−∫−1x⋅1xdx=−ln⁡xx+∫1x2dx=−ln⁡xx−1x+C\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C.
23 puncte
Se calculează integrala definită ∫1eln⁡xx2dx\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2} dx folosind primitiva găsită: [−ln⁡xx−1x]1e=(−ln⁡ee−1e)−(−ln⁡11−11)=(−1e−1e)−(0−1)=−2e+1\left[ -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \right]_{1}^{e} = \left( -\frac{\ln e}{e} - \frac{1}{e} \right) - \left( -\frac{\ln 1}{1} - \frac{1}{1} \right) = \left( -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \right) - (0 - 1) = -\frac{2}{e} + 1.
33 puncte
Deoarece f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [1,e][1, e], aria este dată de integrala definită, deci A=1−2eA = 1 - \frac{2}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.