MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f(x)=xe−xf(x) = x e^{-x}. Să se determine o primitivă a lui ff și să se calculeze aria mărginită de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosim integrarea prin părți pentru a găsi primitiva. Notăm u=xu = x și dv=e−xdxdv = e^{-x} dx. Atunci du=dxdu = dx și v=−e−xv = -e^{-x}. Deci ∫xe−xdx=−xe−x−∫(−e−x)dx=−xe−x+∫e−xdx=−xe−x−e−x+C=−e−x(x+1)+C\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x}(x + 1) + C.
23 puncte
Aria este egală cu integrala definită ∫01f(x)dx=∫01xe−xdx\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x e^{-x} dx.
33 puncte
Calculăm integrala definită folosind primitiva: ∫01xe−xdx=[−e−x(x+1)]01=(−e−1(1+1))−(−e0(0+1))=−2e−1+1=1−2e\int_0^1 x e^{-x} dx = \left[ -e^{-x}(x + 1) \right]_0^1 = (-e^{-1}(1+1)) - (-e^{0}(0+1)) = -2e^{-1} + 1 = 1 - \frac{2}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.