MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmi
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=ln⁡(1+xn)x_{n+1} = \ln(1 + x_n) pentru orice n≥1n \geq 1. Să se demonstreze că șirul este descrescător și mărginit și să se calculeze lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se arată prin inducție că xn>0x_n > 0 pentru orice n≥1n \geq 1. Apoi, se observă că funcția f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1+x) este crescătoare și f(x)<xf(x) < x pentru x>0x > 0, deci xn+1<xnx_{n+1} < x_n, adică șirul este descrescător.
23 puncte
Șirul este mărginit inferior de 0, deoarece xn>0x_n > 0 pentru toți nn.
33 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din recurența xn+1=ln⁡(1+xn)x_{n+1} = \ln(1+x_n), trecând la limită, obținem L=ln⁡(1+L)L = \ln(1+L). Rezolvând ecuația eL=1+Le^L = 1+L, care are soluția unică L=0L=0, deci lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.