MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine primitiva funcției f(x)=2x+3x2+4x+5f(x) = \frac{2x+3}{x^2+4x+5} care se anulează în punctul x=0x=0, apoi să se calculeze integrala definită ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că f(x)=2x+3x2+4x+5=2x+4−1x2+4x+5=2x+4x2+4x+5−1x2+4x+5f(x) = \frac{2x+3}{x^2+4x+5} = \frac{2x+4-1}{x^2+4x+5} = \frac{2x+4}{x^2+4x+5} - \frac{1}{x^2+4x+5}. O primitivă generală este F(x)=ln⁡∣x2+4x+5∣−arctan⁡(x+2)+CF(x) = \ln|x^2+4x+5| - \arctan(x+2) + C.
23 puncte
Din condiția F(0)=0F(0)=0, avem ln⁡5−arctan⁡(2)+C=0\ln 5 - \arctan(2) + C = 0, deci C=arctan⁡(2)−ln⁡5C = \arctan(2) - \ln 5.
33 puncte
Integrala definită ∫01f(x) dx=F(1)−F(0)=F(1)\int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = F(1), deoarece F(0)=0F(0)=0. Calculăm F(1)=ln⁡10−arctan⁡(3)+C=ln⁡10−arctan⁡(3)+arctan⁡(2)−ln⁡5=ln⁡2−arctan⁡(3)+arctan⁡(2)F(1) = \ln 10 - \arctan(3) + C = \ln 10 - \arctan(3) + \arctan(2) - \ln 5 = \ln 2 - \arctan(3) + \arctan(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.