MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveEcuații exponentialeArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(ex−2)f(x) = e^{x} (e^{x} - 2). Să se determine o primitivă FF a lui ff care verifică F(0)=1F(0) = 1. Apoi, să se calculeze aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, axa Ox și dreptele x=0x = 0 și x=ln⁡3x = \ln 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se rescrie funcția: f(x)=ex(ex−2)=e2x−2exf(x) = e^{x} (e^{x} - 2) = e^{2x} - 2e^{x}.
23 puncte
Se determină forma generală a primitivei: F(x)=∫(e2x−2ex)dx=12e2x−2ex+CF(x) = \int (e^{2x} - 2e^{x}) dx = \frac{1}{2} e^{2x} - 2e^{x} + C.
32 puncte
Se folosește condiția F(0)=1F(0)=1: 12e0−2e0+C=1⇒12−2+C=1⇒−32+C=1⇒C=52\frac{1}{2} e^{0} - 2e^{0} + C = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} - 2 + C = 1 \Rightarrow -\frac{3}{2} + C = 1 \Rightarrow C = \frac{5}{2}. Deci F(x)=12e2x−2ex+52F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - 2e^{x} + \frac{5}{2}.
42 puncte
Se calculează aria. Funcția f(x)f(x) se anulează în x=ln⁡2x = \ln 2 (deoarece ex=2e^{x} = 2). Pe [0,ln⁡2][0, \ln 2], f(x)≤0f(x) \le 0, iar pe [ln⁡2,ln⁡3][\ln 2, \ln 3], f(x)≥0f(x) \ge 0. Aria este A=∫0ln⁡3∣f(x)∣dx=∫0ln⁡2(−f(x))dx+∫ln⁡2ln⁡3f(x)dx=∫0ln⁡2(2ex−e2x)dx+∫ln⁡2ln⁡3(e2x−2ex)dxA = \int_{0}^{\ln 3} |f(x)| dx = \int_{0}^{\ln 2} (-f(x)) dx + \int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x) dx = \int_{0}^{\ln 2} (2e^{x} - e^{2x}) dx + \int_{\ln 2}^{\ln 3} (e^{2x} - 2e^{x}) dx. Calculăm: ∫0ln⁡2(2ex−e2x)dx=[2ex−12e2x]0ln⁡2=(2eln⁡2−12e2ln⁡2)−(2e0−12e0)=(4−12⋅4)−(2−12)=(4−2)−(32)=2−1.5=0.5\int_{0}^{\ln 2} (2e^{x} - e^{2x}) dx = [2e^{x} - \frac{1}{2} e^{2x}]_{0}^{\ln 2} = (2e^{\ln 2} - \frac{1}{2} e^{2\ln 2}) - (2e^{0} - \frac{1}{2} e^{0}) = (4 - \frac{1}{2} \cdot 4) - (2 - \frac{1}{2}) = (4 - 2) - (\frac{3}{2}) = 2 - 1.5 = 0.5. ∫ln⁡2ln⁡3(e2x−2ex)dx=[12e2x−2ex]ln⁡2ln⁡3=(12e2ln⁡3−2eln⁡3)−(12e2ln⁡2−2eln⁡2)=(12⋅9−2⋅3)−(12⋅4−2⋅2)=(4.5−6)−(2−4)=(−1.5)−(−2)=0.5\int_{\ln 2}^{\ln 3} (e^{2x} - 2e^{x}) dx = [\frac{1}{2} e^{2x} - 2e^{x}]_{\ln 2}^{\ln 3} = (\frac{1}{2} e^{2\ln 3} - 2e^{\ln 3}) - (\frac{1}{2} e^{2\ln 2} - 2e^{\ln 2}) = (\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2) = (4.5 - 6) - (2 - 4) = (-1.5) - (-2) = 0.5. Deci aria totală este 0.5+0.5=10.5 + 0.5 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.