MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de graficele funcțiilor f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 și g(x)=−x2+2x+3g(x) = -x^2 + 2x + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se determină punctele de intersecție ale graficelor rezolvând ecuația f(x)=g(x)f(x) = g(x): x2−4x+3=−x2+2x+3⇒2x2−6x=0⇒2x(x−3)=0⇒x=0x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x-3)=0 \Rightarrow x=0 sau x=3x=3.
24 puncte
Se stabilește că pe intervalul [0,3][0,3], g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) (se verifică, de exemplu, pentru x=1x=1: f(1)=0f(1)=0, g(1)=4g(1)=4). Aria este dată de integrala ∫03(g(x)−f(x))dx=∫03((−x2+2x+3)−(x2−4x+3))dx=∫03(−2x2+6x)dx\int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) dx = \int_{0}^{3} ((-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)) dx = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) dx.
33 puncte
Se calculează integrala folosind primitive: ∫(−2x2+6x)dx=−23x3+3x2+C\int (-2x^2 + 6x) dx = -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + C, deci ∫03(−2x2+6x)dx=[−23x3+3x2]03=(−23(27)+3(9))−0=−18+27=9\int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{2}{3}(27) + 3(9) \right) - 0 = -18 + 27 = 9. Aria este 9 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.