MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatematică aplicată
Timpii realizați de un sportiv la trei alergări succesive formează o progresie aritmetică. Suma timpilor este de 24 de secunde, iar suma pătratelor lor este de 200. Determinați timpii fiecărei alergări. Apoi, dacă sportivul continuă să alerge conform aceleiași progresii, determinați numărul minim de alergări necesare pentru ca suma totală a timpilor să depășească 100 de secunde.

Rezolvare completă

12 puncte · 6 pași
12 puncte
Se notează timpii ca a−ra - r, aa, a+ra + r, unde aa este termenul mediu și rr rația.
23 puncte
Se formează ecuațiile: (a−r)+a+(a+r)=24(a - r) + a + (a + r) = 24 și (a−r)2+a2+(a+r)2=200(a - r)^2 + a^2 + (a + r)^2 = 200.
32 puncte
Din prima ecuație, 3a=243a = 24, deci a=8a = 8.
42 puncte
Se înlocuiește a=8a=8 în a doua ecuație: (8−r)2+64+(8+r)2=200(8 - r)^2 + 64 + (8 + r)^2 = 200. După calcul: 64−16r+r2+64+64+16r+r2=20064 - 16r + r^2 + 64 + 64 + 16r + r^2 = 200, deci 192+2r2=200192 + 2r^2 = 200, 2r2=82r^2 = 8, r2=4r^2 = 4, r=±2r = \pm 2. Timpii sunt 6,8,106, 8, 10 secunde (progresia crescătoare, r=2r=2).
51 punct
Pentru partea a doua, se consideră a1=6a_1 = 6 și r=2r = 2. Suma primilor nn termeni: Sn=n[2⋅6+(n−1)2]2=n(6+n−1)=n(n+5)S_n = \frac{n[2 \cdot 6 + (n-1)2]}{2} = n(6 + n - 1) = n(n+5).
62 puncte
Se rezolvă inecuația n(n+5)>100n(n+5) > 100: n2+5n−100>0n^2 + 5n - 100 > 0. Rădăcinile ecuației n2+5n−100=0n^2 + 5n - 100 = 0 sunt n=−5±25+4002=−5±4252=−5±5172n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{17}}{2}. Deoarece nn este natural, se testează: pentru n=8n=8, S8=8⋅13=104>100S_8 = 8 \cdot 13 = 104 > 100. Deci numărul minim este 88.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.