MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateTrigonometrie
Să se calculeze o primitivă a funcției f(x)=e2xsin⁡(3x)f(x) = e^{2x} \sin(3x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se aplică integrarea prin părți de două ori. Alegem u=e2xu = e^{2x}, dv=sin⁡(3x)dxdv = \sin(3x)dx, deci du=2e2xdxdu = 2e^{2x}dx, v=−13cos⁡(3x)v = -\frac{1}{3}\cos(3x). Obținem I=∫e2xsin⁡(3x)dx=−13e2xcos⁡(3x)+23∫e2xcos⁡(3x)dxI = \int e^{2x} \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{3}\int e^{2x}\cos(3x) dx. Apoi, pentru integrala rămasă, alegem din nou u=e2xu = e^{2x}, dv=cos⁡(3x)dxdv = \cos(3x)dx.
24 puncte
Continuând, avem ∫e2xcos⁡(3x)dx=13e2xsin⁡(3x)−23∫e2xsin⁡(3x)dx\int e^{2x}\cos(3x) dx = \frac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \frac{2}{3}\int e^{2x}\sin(3x) dx. Notând I=∫e2xsin⁡(3x)dxI = \int e^{2x} \sin(3x) dx, obținem I=−13e2xcos⁡(3x)+23(13e2xsin⁡(3x)−23I)I = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}e^{2x}\sin(3x) - \frac{2}{3}I\right). Rezolvăm ecuația: I=−13e2xcos⁡(3x)+29e2xsin⁡(3x)−49II = -\frac{1}{3}e^{2x}\cos(3x) + \frac{2}{9}e^{2x}\sin(3x) - \frac{4}{9}I, deci 139I=e2x(−13cos⁡(3x)+29sin⁡(3x))\frac{13}{9}I = e^{2x}\left(-\frac{1}{3}\cos(3x) + \frac{2}{9}\sin(3x)\right).
33 puncte
Isolăm II: I=913e2x(−13cos⁡(3x)+29sin⁡(3x))+C=e2x(−313cos⁡(3x)+213sin⁡(3x))+CI = \frac{9}{13}e^{2x}\left(-\frac{1}{3}\cos(3x) + \frac{2}{9}\sin(3x)\right) + C = e^{2x}\left(-\frac{3}{13}\cos(3x) + \frac{2}{13}\sin(3x)\right) + C. Deci, o primitivă este F(x)=e2x(−313cos⁡(3x)+213sin⁡(3x))+CF(x) = e^{2x}\left(-\frac{3}{13}\cos(3x) + \frac{2}{13}\sin(3x)\right) + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.