MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeTrigonometrie
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică cu primul termen a1=sin⁡θa_1 = \sin \theta și rația d=cos⁡θd = \cos \theta. Dacă suma primilor 10 termeni este S10=5S_{10} = 5, determinați toate valorile lui θ\theta pentru θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Suma primilor nn termeni ai unei progresii aritmetice este Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d). Pentru n=10n=10, S10=5(2sin⁡θ+9cos⁡θ)S_{10} = 5(2\sin \theta + 9\cos \theta). Setând S10=5S_{10} = 5, obținem 2sin⁡θ+9cos⁡θ=12\sin \theta + 9\cos \theta = 1.
24 puncte
Exprimăm 2sin⁡θ+9cos⁡θ2\sin \theta + 9\cos \theta sub forma Rsin⁡(θ+ϕ)R \sin(\theta + \phi), unde R=22+92=85R = \sqrt{2^2 + 9^2} = \sqrt{85} și ϕ\phi este unghiul astfel încât sin⁡ϕ=985\sin \phi = \frac{9}{\sqrt{85}}, cos⁡ϕ=285\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{85}}. Ecuația devine 85sin⁡(θ+ϕ)=1\sqrt{85} \sin(\theta + \phi) = 1, deci sin⁡(θ+ϕ)=185\sin(\theta + \phi) = \frac{1}{\sqrt{85}}.
33 puncte
Rezolvăm sin⁡(θ+ϕ)=185\sin(\theta + \phi) = \frac{1}{\sqrt{85}} pentru θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi). Avem θ+ϕ=arcsin⁡(185)+2kπ\theta + \phi = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{85}}\right) + 2k\pi sau θ+ϕ=π−arcsin⁡(185)+2kπ\theta + \phi = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{85}}\right) + 2k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}. Folosind valoarea aproximativă sau exactă a lui ϕ\phi din step 2, găsim două soluții pentru θ\theta în intervalul dat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.