MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul este mărginit și monoton. b) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată prin inducție că 0<xn<20 < x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. Pentru n=1n=1, x1=1∈(0,2)x_1=1 \in (0,2). Presupunem 0<xn<20 < x_n < 2, atunci xn+1=2+xn∈(2,4)=(2,2)⊂(0,2)x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} \in (\sqrt{2}, \sqrt{4}) = (\sqrt{2}, 2) \subset (0,2), deci șirul este mărginit.
23 puncte
Se demonstrează că șirul este monoton crescător: xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Se consideră funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2+x} - x pe (0,2)(0,2). Derivata f′(x)=122+x−1<0f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1 < 0, deci ff descrescătoare. Cum f(1)=3−1>0f(1) = \sqrt{3} - 1 > 0 și f(2)=2−2=0f(2) = 2 - 2 = 0, rezultă f(x)≥0f(x) \geq 0 pe [1,2][1,2], deci xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n.
32 puncte
Șirul fiind mărginit și monoton, este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n.
42 puncte
Din relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Se ridică la pătrat: L2=2+L⇒L2−L−2=0⇒L=2L^2 = 2 + L \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow L = 2 sau L=−1L = -1. Cum xn>0x_n > 0, L≥0L \geq 0, deci L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.