MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Se consideră funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−3xx2−1f(x) = \frac{2x^3 - 3x}{x^2 - 1}. Să se studieze această funcție determinând: domeniul de definiție, asimptotele (verticale și oblice), derivatele de ordinul I și II, intervalele de monotonie și convexitate, precum și punctele de extrem local și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinăm domeniul de definiție: Df=R∖{−1,1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} deoarece x2−1=0x^2 - 1 = 0 dă x=±1x = \pm 1.
22 puncte
Găsim asimptotele: pentru x→±∞x \to \pm \infty, lim⁡x→±∞f(x)x=2\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 2 și lim⁡x→±∞(f(x)−2x)=0\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - 2x) = 0, deci asimptota oblică este y=2xy = 2x; asimptote verticale la x=−1x = -1 și x=1x = 1 deoarece lim⁡x→−1f(x)=∞\lim_{x \to -1} f(x) = \infty și lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty.
32 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=(6x2−3)(x2−1)−(2x3−3x)(2x)(x2−1)2=2x4−6x2+3(x2−1)2f'(x) = \frac{(6x^2 - 3)(x^2 - 1) - (2x^3 - 3x)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^4 - 6x^2 + 3}{(x^2 - 1)^2}. Rezolvăm f′(x)=0f'(x) = 0, adică 2x4−6x2+3=02x^4 - 6x^2 + 3 = 0, cu soluții x=±3±32x = \pm\sqrt{\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}}. Analizăm semnul derivatei pentru a determina intervalele de monotonie: crescătoare pe (−∞,−a)(-\infty, -a), descrescătoare pe (−a,−1)(-a, -1), etc., unde a=3+32a = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}}.
42 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=4x(x2−3)(x2−1)3f''(x) = \frac{4x(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^3}. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x) = 0, adică x=0x = 0 sau x=±3x = \pm\sqrt{3}. Determinăm semnul pentru convexitate: convexă pe (−∞,−3)∪(0,1)∪(3,∞)(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty), concavă pe (−3,−1)∪(−1,0)∪(1,3)(-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 0) \cup (1, \sqrt{3}).
52 puncte
Din semnele derivatelor, identificăm punctele de extrem: minim la x=−3+32x = -\sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}}, maxim la x=3+32x = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}}; puncte de inflexiune la x=−3x = -\sqrt{3}, x=0x = 0, x=3x = \sqrt{3} unde f′′(x)f''(x) schimbă semnul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.