MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Determinați a,b,ca, b, c știind că punctul A(1,2)A(1, 2) este punct de extrem local al graficului funcției și că tangenta la grafic în punctul de abscisă x=0x=0 este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. b) Pentru valorile determinate, studiați monotonia funcției ff. c) Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condițiile sunt: 1) A(1,2)A(1,2) aparține graficului: f(1)=2⇒1+a+b+c=2f(1)=2 \Rightarrow 1 + a + b + c = 2. 2) AA este punct de extrem: f′(1)=0⇒3+2a+b=0f'(1)=0 \Rightarrow 3 + 2a + b = 0. 3) Tangenta în x=0x=0 este paralelă cu y=3x+1y=3x+1 (panta 3): f′(0)=3⇒b=3f'(0)=3 \Rightarrow b = 3. Se rezolvă sistemul: din b=3b=3, din 3+2a+3=0⇒2a=−6⇒a=−33+2a+3=0 \Rightarrow 2a=-6 \Rightarrow a=-3, din 1−3+3+c=2⇒c=11-3+3+c=2 \Rightarrow c=1. Deci a=−3,b=3,c=1a=-3, b=3, c=1 și f(x)=x3−3x2+3x+1f(x)=x^3-3x^2+3x+1.
23 puncte
Se calculează f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2. f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și f′(x)=0f'(x)=0 doar pentru x=1x=1. Funcția este crescătoare pe R\mathbb{R}, iar x=1x=1 este punct de inflexiune (nu extrem) deoarece derivata nu își schimbă semnul.
33 puncte
Se calculează f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x)=6x-6=6(x-1). f′′(x)=0⇒x=1f''(x)=0 \Rightarrow x=1. Se studiază semnul: f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (concavă) și f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>1x>1 (convexă). Punctul de inflexiune este x=1x=1, cu f(1)=2f(1)=2, adică I(1,2)I(1,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.