MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2xx2−1f(x) = \frac{2x}{x^2 - 1}. a) Determinați o primitivă a funcției ff pe intervalul (1,∞)(1, \infty). b) Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției g(x)=1x2−1g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}, axa OxOx și dreptele x=2x = 2 și x=3x = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Observăm că f(x)=2xx2−1f(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} este derivata funcției ln⁡∣x2−1∣\ln|x^2 - 1|. Pe (1,∞)(1, \infty), avem x2−1>0x^2 - 1 > 0, deci o primitivă este F(x)=ln⁡(x2−1)+CF(x) = \ln(x^2 - 1) + C, cu C∈RC \in \mathbb{R}.
26 puncte
Aria este A=∫23∣g(x)∣dxA = \int_{2}^{3} |g(x)| dx. Pe [2,3][2,3], g(x)=1x2−1>0g(x) = \frac{1}{x^2 - 1} > 0, deci A=∫231x2−1dxA = \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 1} dx. Folosim descompunerea 1x2−1=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right). Atunci A=12∫23(1x−1−1x+1)dx=12[ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣]23=12(ln⁡2−ln⁡4−(ln⁡1−ln⁡3))=12(ln⁡2−ln⁡4+ln⁡3)=12ln⁡64=12ln⁡32A = \frac{1}{2} \int_{2}^{3} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \frac{1}{2} \left[ \ln|x-1| - \ln|x+1| \right]_{2}^{3} = \frac{1}{2} \left( \ln 2 - \ln 4 - (\ln 1 - \ln 3) \right) = \frac{1}{2} \left( \ln 2 - \ln 4 + \ln 3 \right) = \frac{1}{2} \ln \frac{6}{4} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.