MediuStatistică descriptivăClasa 10

Problemă rezolvată de Statistică descriptivă

MediuStatistică descriptivăProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie x1,x2,x3,x4,x5x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 cinci numere reale. Media aritmetică a acestora este 10, iar media aritmetică a pătratelor lor este 120. Dacă x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie aritmetică cu rația 2, iar x4x_4 și x5x_5 sunt egale, determinați numerele și calculați dispersia și abaterea standard.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condițiile date: xˉ=x1+x2+x3+x4+x55=10\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5} = 10 și x2ˉ=x12+x22+x32+x42+x525=120\bar{x^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2}{5} = 120. De asemenea, x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie aritmetică cu rația 2, deci x2=x1+2x_2 = x_1 + 2 și x3=x1+4x_3 = x_1 + 4. Și x4=x5=ax_4 = x_5 = a.
24 puncte
Înlocuim în ecuații: din prima, x1+(x1+2)+(x1+4)+a+a=50x_1 + (x_1+2) + (x_1+4) + a + a = 50, deci 3x1+2a+6=503x_1 + 2a + 6 = 50, așadar 3x1+2a=443x_1 + 2a = 44. Din a doua, x12+(x1+2)2+(x1+4)2+a2+a2=600x_1^2 + (x_1+2)^2 + (x_1+4)^2 + a^2 + a^2 = 600, deci x12+(x12+4x1+4)+(x12+8x1+16)+2a2=600x_1^2 + (x_1^2 + 4x_1 + 4) + (x_1^2 + 8x_1 + 16) + 2a^2 = 600, simplificând 3x12+12x1+20+2a2=6003x_1^2 + 12x_1 + 20 + 2a^2 = 600, deci 3x12+12x1+2a2=5803x_1^2 + 12x_1 + 2a^2 = 580. Avem sistemul: 3x1+2a=443x_1 + 2a = 44 și 3x12+12x1+2a2=5803x_1^2 + 12x_1 + 2a^2 = 580. Din prima ecuație, a=44−3x12a = \frac{44 - 3x_1}{2}. Înlocuim în a doua: 3x12+12x1+2(44−3x12)2=5803x_1^2 + 12x_1 + 2\left(\frac{44 - 3x_1}{2}\right)^2 = 580, deci 3x12+12x1+(44−3x1)22=5803x_1^2 + 12x_1 + \frac{(44 - 3x_1)^2}{2} = 580. Înmulțim cu 2: 6x12+24x1+(44−3x1)2=11606x_1^2 + 24x_1 + (44 - 3x_1)^2 = 1160. Expandăm (44−3x1)2=1936−264x1+9x12(44 - 3x_1)^2 = 1936 - 264x_1 + 9x_1^2. Atunci 6x12+24x1+1936−264x1+9x12=11606x_1^2 + 24x_1 + 1936 - 264x_1 + 9x_1^2 = 1160, deci 15x12−240x1+1936=116015x_1^2 - 240x_1 + 1936 = 1160, așadar 15x12−240x1+776=015x_1^2 - 240x_1 + 776 = 0. Rezolvăm: Δ=(−240)2−4⋅15⋅776=57600−46560=11040\Delta = (-240)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 776 = 57600 - 46560 = 11040, Δ=11040=4690\sqrt{\Delta} = \sqrt{11040} = 4\sqrt{690}. Deci x1=240±469030=120±269015x_1 = \frac{240 \pm 4\sqrt{690}}{30} = \frac{120 \pm 2\sqrt{690}}{15}. Atunci a=44−3x12a = \frac{44 - 3x_1}{2}. Obținem două seturi de soluții pentru x1x_1 și aa.
33 puncte
Dispersia este σ2=x2ˉ−(xˉ)2=120−102=20\sigma^2 = \bar{x^2} - (\bar{x})^2 = 120 - 10^2 = 20. Abaterea standard este σ=20=25\sigma = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Statistică descriptivă

Ușor#1Statistică descriptivăProbabilități
Rezultatele unui test la matematică pentru 100 de elevi au o medie de 75 de puncte și o abatere standard de 10 puncte, distribuite normal. Aflați probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să obțină între 70 și 80 de puncte. În plus, determinați numărul așteptat de elevi care obțin peste 85 de puncte.
Ușor#2Statistică descriptivăProbabilitățiMatematică aplicată
Un sondaj privind venitul lunar al familiilor dintr-un oraș a arătat că media este de 5000 lei și abaterea standard este de 1000 lei. Presupunând că venitul urmează o distribuție normală, calculați probabilitatea ca o familie aleasă aleatoriu să aibă un venit între 4000 și 6000 lei. Utilizați tabelul valorilor funcției Laplace, unde Φ(1)=0.3413\Phi(1) = 0.3413.
Ușor#3Statistică descriptivăMatematică aplicată
Se înregistrează timpii de reacție (în milisecunde) pentru 15 subiecți: 210, 215, 208, 212, 220, 205, 218, 214, 209, 213, 217, 211, 216, 207, 219. Calculați media, mediana, modul și deviația standard a acestor date. Analizați simetria distribuției.
Mediu#4Statistică descriptivăMatematică aplicată
O companie a înregistrat venituri lunare (în mii de lei) pe un an: [12,15,18,20,22,25,28,30,32,35,38,40][12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40]. Calculați media, dispersia și abaterea standard a acestor venituri. Apoi, determinați intervalul de încredere pentru media populației, presupunând că datele provin dintr-o distribuție normală și nivelul de încredere este de 95%95\%. (Se cunoaște că pentru 1111 grade de libertate, valoarea-tt este 2.2012.201.)
Vezi toate problemele de Statistică descriptivă →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Statistică descriptivă cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.