MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăContinuitate
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați prin inducție matematică că 0<an<20 < a_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. b) Studiați monotonia șirului. c) Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrație prin inducție: pentru n=1n=1, a1=1a_1=1, deci 0<1<20 < 1 < 2. Presupunem că pentru un k≥1k \geq 1 avem 0<ak<20 < a_k < 2. Atunci ak+1=2+aka_{k+1} = \sqrt{2 + a_k}. Cum 0<ak<20 < a_k < 2, avem 2<2+ak<42 < 2 + a_k < 4, deci 2<ak+1<2\sqrt{2} < a_{k+1} < 2. Astfel, 0<ak+1<20 < a_{k+1} < 2. Prin principiul inducției, inegalitatea este adevărată pentru orice n≥1n \geq 1.
23 puncte
Studiem monotonia: considerăm diferența an+1−an=2+an−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n. Arătăm că an+1>ana_{n+1} > a_n pentru orice nn. Aceasta este echivalentă cu 2+an>an\sqrt{2 + a_n} > a_n, adică 2+an>an22 + a_n > a_n^2, deci an2−an−2<0a_n^2 - a_n - 2 < 0. Trinomul t2−t−2t^2 - t - 2 are rădăcinile −1-1 și 22, deci inegalitatea este satisfăcută pentru an∈(−1,2)a_n \in (-1, 2). Cum an>0a_n > 0, avem an∈(0,2)a_n \in (0, 2), deci an+1>ana_{n+1} > a_n. Așadar, șirul este strict crescător.
33 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, obținem L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Rezolvăm ecuația: L2=2+LL^2 = 2 + L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=−1L = -1 și L=2L = 2. Cum an>0a_n > 0, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.