MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 9

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeProgresii Aritmetice
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică de numere reale. Știind că a1+a3+a5=15a_1 + a_3 + a_5 = 15 și a2⋅a4=8a_2 \cdot a_4 = 8, să se determine primul termen a1a_1 și rația rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se exprimă termenii progresiei: a1=a1a_1 = a_1, a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r.
22 puncte
Din a1+a3+a5=15a_1 + a_3 + a_5 = 15, se obține a1+(a1+2r)+(a1+4r)=15a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 15, adică 3a1+6r=153a_1 + 6r = 15 sau a1+2r=5a_1 + 2r = 5.
32 puncte
Din a2⋅a4=8a_2 \cdot a_4 = 8, se obține (a1+r)(a1+3r)=8(a_1 + r)(a_1 + 3r) = 8.
42 puncte
Se substituie a1=5−2ra_1 = 5 - 2r din prima ecuație în a doua: (5−2r+r)(5−2r+3r)=(5−r)(5+r)=8(5 - 2r + r)(5 - 2r + 3r) = (5 - r)(5 + r) = 8.
51 punct
Se rezolvă (5−r)(5+r)=25−r2=8(5 - r)(5 + r) = 25 - r^2 = 8, deci r2=17r^2 = 17, iar r=17r = \sqrt{17} sau r=−17r = -\sqrt{17}.
61 punct
Pentru r=17r = \sqrt{17}, a1=5−217a_1 = 5 - 2\sqrt{17}; pentru r=−17r = -\sqrt{17}, a1=5+217a_1 = 5 + 2\sqrt{17}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.