MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3x2−1f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}. Determinați domeniul maxim de definiție DD, asimptotele funcției, intervalele de monotonie și punctele de extrem local. Apoi, studiați convexitatea/concavitatea pe DD și determinați punctele de inflexiune, dacă există. În final, rezolvați ecuația f(x)=log⁡2(x−1)f(x) = \log_2 (x-1), pentru x∈D∩(1,∞)x \in D \cap (1, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Determinarea domeniului: x2−1≠0⇒x≠±1x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1, deci D=R∖{−1,1}D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.
22 puncte
Asimptote: verticale în x=−1x = -1 și x=1x = 1 (limitele laterale sunt infinite); orizontală: lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1, deci y=1y = 1; nu există asimptotă oblică.
32 puncte
Derivata întâi: f′(x)=(2x−4)(x2−1)−(x2−4x+3)(2x)(x2−1)2=2x2−2x−4(x2−1)2f'(x) = \frac{(2x-4)(x^2-1) - (x^2-4x+3)(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - 4}{(x^2-1)^2}. Semnul lui f′f': numărătorul 2x2−2x−4=2(x2−x−2)=2(x−2)(x+1)2x^2 - 2x - 4 = 2(x^2 - x - 2) = 2(x-2)(x+1); se studiază pe DD, obținând crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1), (−1,1)(-1, 1) și (2,∞)(2, \infty), descrescătoare pe (1,2)(1, 2); extrem local în x=2x=2 (minim, f(2)=−13f(2) = -\frac{1}{3}).
42 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=4x3−6x2−12x+10(x2−1)3f''(x) = \frac{4x^3 - 6x^2 - 12x + 10}{(x^2-1)^3}. Semnul lui f′′f'': se rezolvă 4x3−6x2−12x+10=04x^3 - 6x^2 - 12x + 10 = 0, cu rădăcina rațională x=1x=1 (dar nu în DD), se studiază pe DD, obținând convexă pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (1,∞)(1, \infty), concavă pe (−1,1)(-1, 1); fără puncte de inflexiune în DD.
52 puncte
Ecuația f(x)=log⁡2(x−1)f(x) = \log_2 (x-1): pe (1,∞)(1, \infty), f(x)=x−3x+1f(x) = \frac{x-3}{x+1} (după simplificare, x≠1x \neq 1). Ecuația devine x−3x+1=log⁡2(x−1)\frac{x-3}{x+1} = \log_2 (x-1). Se studiază funcția g(x)=x−3x+1−log⁡2(x−1)g(x) = \frac{x-3}{x+1} - \log_2 (x-1), se arată că are o singură rădăcină, aproximativ x≈3x \approx 3 (se poate verifica x=3x=3: 0=log⁡22=10 = \log_2 2 = 1, fals; se folosește metode numerice sau grafică pentru a indica existența unei soluții unice).
61 punct
Concluzii finale: se prezintă rezultatele organizat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.