MediuGeometrie AnaliticăClasa 10

Problemă rezolvată de Geometrie Analitică

MediuGeometrie AnaliticăVectori
Fie vectorii u⃗=ai⃗+bj⃗\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} și v⃗=ci⃗+dj⃗\vec{v} = c\vec{i} + d\vec{j} cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}. Știind că ∣u⃗∣=5|\vec{u}| = 5, ∣v⃗∣=3|\vec{v}| = 3, și u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6, determinați coordonatele vectorilor dacă u⃗\vec{u} este paralel cu dreapta y=2x+1y=2x+1 și v⃗\vec{v} este perpendicular pe această dreaptă. Apoi, aflați ecuația dreptei care trece prin punctul P(1,−1)P(1,-1) și este perpendiculară pe vectorul u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Deoarece u⃗\vec{u} este paralel cu dreapta y=2x+1y=2x+1, panta dreptei este 2, deci ba=2\frac{b}{a} = 2 sau b=2ab = 2a. v⃗\vec{v} este perpendicular pe dreaptă, deci produsul scalar dintre v⃗\vec{v} și vectorul director al dreptei (1,2)(1,2) este zero: c⋅1+d⋅2=0c \cdot 1 + d \cdot 2 = 0, adică c+2d=0c + 2d = 0.
23 puncte
Din ∣u⃗∣=5|\vec{u}| = 5, avem a2+b2=25a^2 + b^2 = 25. Din ∣v⃗∣=3|\vec{v}| = 3, avem c2+d2=9c^2 + d^2 = 9. Din u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6, avem ac+bd=6ac + bd = 6.
32 puncte
Înlocuind b=2ab=2a și c=−2dc=-2d din step 1, obținem a2+(2a)2=25⇒5a2=25⇒a2=5a^2 + (2a)^2 = 25 \Rightarrow 5a^2 = 25 \Rightarrow a^2 = 5, deci a=±5a = \pm \sqrt{5}, b=±25b = \pm 2\sqrt{5}. Din c=−2dc=-2d și c2+d2=9c^2 + d^2 = 9, avem 4d2+d2=9⇒5d2=9⇒d2=954d^2 + d^2 = 9 \Rightarrow 5d^2 = 9 \Rightarrow d^2 = \frac{9}{5}, deci d=±35d = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}, c=∓65c = \mp \frac{6}{\sqrt{5}}. Din ac+bd=6ac + bd = 6 și verificând semnele, soluția consistentă este a=5,b=25,c=−65,d=35a = \sqrt{5}, b=2\sqrt{5}, c=-\frac{6}{\sqrt{5}}, d=\frac{3}{\sqrt{5}}.
42 puncte
Vectorul u⃗+v⃗=(5−65)i⃗+(25+35)j⃗=(−15)i⃗+(135)j⃗\vec{u} + \vec{v} = (\sqrt{5} - \frac{6}{\sqrt{5}})\vec{i} + (2\sqrt{5} + \frac{3}{\sqrt{5}})\vec{j} = (-\frac{1}{\sqrt{5}})\vec{i} + (\frac{13}{\sqrt{5}})\vec{j}. Dreapta perpendiculară pe acest vector care trece prin P(1,−1)P(1,-1) are ecuația −15(x−1)+135(y+1)=0-\frac{1}{\sqrt{5}}(x-1) + \frac{13}{\sqrt{5}}(y+1) = 0, care se simplifică la −x+1+13y+13=0⇒−x+13y+14=0-x+1 + 13y+13 = 0 \Rightarrow -x + 13y +14 = 0 sau x−13y−14=0x - 13y -14 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Geometrie Analitică

Ușor#1Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
O antenă parabolică are forma unui paraboloid de rotație. Secțiunea axială a antenei este o parabolă cu ecuația y=ax2y = ax^2. Diametrul antenei este de 4 m, iar adâncimea (distanța de la vârf la planul bazei) este de 1 m. Determinați valoarea coeficientului aa și poziția focală a antenei (distanța de la vârf la focar).
Mediu#2Geometrie AnaliticăSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
O companie produce două tipuri de articole, A și B. Profitul unitar este de 120120 lei pentru A și 8080 lei pentru B. Producția este limitată de resurse: pentru fiecare articol A se consumă 22 ore de muncă și 33 kg de materie primă, iar pentru B se consumă 11 oră de muncă și 22 kg de materie primă. Disponibilul zilnic este de 100100 ore de muncă și 120120 kg de materie primă. Determinați câte articole din fiecare tip trebuie produse zilnic pentru a maximiza profitul total, folosind metode geometrice sau algebrice.
Mediu#3Geometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un teren în formă de triunghi are vârfurile în punctele A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0) și C(2,3)C(2,3) (coordonate în metri). Se dorește construirea unui drum drept de la punctul D(1,1)D(1,1) la latura BCBC, astfel încât drumul să fie perpendicular pe BCBC. Determinați lungimea drumului și coordonatele punctului de intersecție cu BCBC.
Ușor#4Geometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
După întâlnire, un vas a mers spre sud și celălalt spre vest. La două ore după întâlnire, cele două vase erau la 60 km distanță unul de celălalt. Determinați viteza fiecărui vas, știind că viteza unuia este cu 6 km/h mai mare decât a celuilalt.
Vezi toate problemele de Geometrie Analitică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Geometrie Analitică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.