MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateTrigonometrie
Fie funcția f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se calculeze o primitivă a lui ff pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se aplică integrarea prin părți, alegând u=sin⁡xu = \sin x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, deci du=cos⁡xdxdu = \cos x dx, v=12e2xv = \frac{1}{2}e^{2x}. Se obține I=∫e2xsin⁡xdx=12e2xsin⁡x−12∫e2xcos⁡xdxI = \int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx.
24 puncte
Se aplică din nou integrarea prin părți pentru J=∫e2xcos⁡xdxJ = \int e^{2x} \cos x dx, cu u=cos⁡xu = \cos x, dv=e2xdxdv = e^{2x} dx, rezultând J=12e2xcos⁡x+12∫e2xsin⁡xdx=12e2xcos⁡x+12IJ = \frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I.
32 puncte
Se substituie JJ în expresia pentru II și se rezolvă ecuația: I=12e2xsin⁡x−12(12e2xcos⁡x+12I)I = \frac{1}{2}e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I \right), de unde I=e2x5(2sin⁡x−cos⁡x)+CI = \frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.