MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorMonotonie și convexitateIntegrale definite
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e2x−4ex+3f(x) = e^{2x} - 4e^x + 3. a) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff. b) Stabiliți intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune ale funcției ff. c) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=ln⁡3x = \ln 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calcul derivatei întâi: f′(x)=2e2x−4ex=2ex(ex−2)f'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2). f′(x)=0⇒ex=2⇒x=ln⁡2f'(x) = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2. Semn derivatei: pentru x<ln⁡2x < \ln 2, ex<2e^x < 2, deci ex−2<0e^x - 2 < 0, iar 2ex>02e^x > 0, deci f′(x)<0f'(x) < 0; pentru x>ln⁡2x > \ln 2, f′(x)>0f'(x) > 0. Deci ff descrescătoare pe (−∞,ln⁡2](-\infty, \ln 2], crescătoare pe [ln⁡2,∞)[\ln 2, \infty), iar x=ln⁡2x = \ln 2 este punct de minim local, f(ln⁡2)=e2ln⁡2−4eln⁡2+3=4−8+3=−1f(\ln 2) = e^{2\ln 2} - 4e^{\ln 2} + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.
23 puncte
Calcul derivatei a doua: f′′(x)=4e2x−4ex=4ex(ex−1)f''(x) = 4e^{2x} - 4e^x = 4e^x(e^x - 1). f′′(x)=0⇒ex=1⇒x=0f''(x) = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0. Semn derivatei a doua: pentru x<0x < 0, ex<1e^x < 1, deci ex−1<0e^x - 1 < 0, iar 4ex>04e^x > 0, deci f′′(x)<0f''(x) < 0; pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0. Deci ff concavă pe (−∞,0](-\infty, 0], convexă pe [0,∞)[0, \infty), iar x=0x = 0 este punct de inflexiune, f(0)=1−4+3=0f(0) = 1 - 4 + 3 = 0.
34 puncte
Calcul ariei: A=∫0ln⁡3∣f(x)∣dxA = \int_0^{\ln 3} |f(x)| dx. Determin semnul lui ff pe [0,ln⁡3][0, \ln 3]: f(x)=(ex−1)(ex−3)f(x) = (e^x - 1)(e^x - 3). Pe [0,ln⁡3][0, \ln 3], ex≥1e^x \ge 1, deci ex−1≥0e^x - 1 \ge 0; ex≤3e^x \le 3, deci ex−3≤0e^x - 3 \le 0, deci f(x)≤0f(x) \le 0. Așadar ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x). A=∫0ln⁡3(−e2x+4ex−3)dx=[−12e2x+4ex−3x]0ln⁡3=(−12e2ln⁡3+4eln⁡3−3ln⁡3)−(−12+4−0)=(−12⋅9+4⋅3−3ln⁡3)−(72)=(−92+12−3ln⁡3)−72=152−3ln⁡3−72=4−3ln⁡3A = \int_0^{\ln 3} (-e^{2x} + 4e^x - 3) dx = \left[-\frac{1}{2}e^{2x} + 4e^x - 3x\right]_0^{\ln 3} = \left(-\frac{1}{2}e^{2\ln 3} + 4e^{\ln 3} - 3\ln 3\right) - \left(-\frac{1}{2} + 4 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2} \cdot 9 + 4 \cdot 3 - 3\ln 3\right) - \left(\frac{7}{2}\right) = \left(-\frac{9}{2} + 12 - 3\ln 3\right) - \frac{7}{2} = \frac{15}{2} - 3\ln 3 - \frac{7}{2} = 4 - 3\ln 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.