MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x−2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie, punctele de extrem și schițați graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: Df=R∖{2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} deoarece numitorul nu poate fi zero.
23 puncte
Asimptote: asimptota verticală x=2x=2 deoarece lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty; asimptota oblică y=x+2y = x + 2 deoarece f(x)=x+2+5x−2f(x) = x + 2 + \frac{5}{x-2} și lim⁡x→±∞[f(x)−(x+2)]=0\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (x+2)] = 0.
33 puncte
Derivata: f′(x)=(2x)(x−2)−(x2+1)(x−2)2=x2−4x−1(x−2)2f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2+1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x-2)^2}; rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0: x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1=0 cu soluțiile x=2±5x = 2 \pm \sqrt{5}; studiem semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (−∞,2−5)∪(2+5,∞)(-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty) (funcția crește), f′(x)<0f'(x) < 0 pe (2−5,2)∪(2,2+5)(2-\sqrt{5}, 2) \cup (2, 2+\sqrt{5}) (funcția descrește); puncte de extrem: maxim local la x=2−5x=2-\sqrt{5}, minim local la x=2+5x=2+\sqrt{5}.
42 puncte
Schița graficului: se trasează asimptotele x=2x=2 și y=x+2y=x+2, punctele de extrem și comportamentul funcției pe intervale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.