MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceInducție matematică
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+3na_{n+1} = 2a_n + 3^n pentru orice n≥1n \ge 1. a) Arătați că șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \ge 1} cu bn=an3nb_n = \frac{a_n}{3^n} verifică relația bn+1=23bn+13b_{n+1} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3} și deduceți că bn=1−(23)nb_n = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n pentru orice n≥1n \ge 1. b) Demonstrați prin inducție matematică că an=3n−2na_n = 3^n - 2^n pentru orice n≥1n \ge 1. c) Calculați lim⁡n→∞an3n\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează bn+1=an+13n+1=2an+3n3n+1=23bn+13b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n + 3^n}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} b_n + \frac{1}{3}. Observăm că bn+1−1=23(bn−1)b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3} (b_n - 1), deci șirul (cn)(c_n) cu cn=bn−1c_n = b_n - 1 este progresie geometrică cu rație 23\frac{2}{3} și c1=b1−1=13−1=−23c_1 = b_1 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}. Atunci cn=c1⋅(23)n−1=−23⋅(23)n−1=−(23)nc_n = c_1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -\left(\frac{2}{3}\right)^n, deci bn=1−(23)nb_n = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n.
24 puncte
Pentru b): Verificare pentru n=1: a1=31−21=1a_1 = 3^1 - 2^1 = 1, adevărat. Presupunem că an=3n−2na_n = 3^n - 2^n. Atunci an+1=2an+3n=2(3n−2n)+3n=2⋅3n−2n+1+3n=3⋅3n−2n+1=3n+1−2n+1a_{n+1} = 2a_n + 3^n = 2(3^n - 2^n) + 3^n = 2 \cdot 3^n - 2^{n+1} + 3^n = 3 \cdot 3^n - 2^{n+1} = 3^{n+1} - 2^{n+1}, deci este adevărat pentru n+1. Prin inducție, formula este demonstrată.
32 puncte
Pentru c): lim⁡n→∞an3n=lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞(1−(23)n)=1−0=1\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right) = 1 - 0 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.