MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu rația rr. Știind că a1+a2+a3=15a_1 + a_2 + a_3 = 15 și a12+a22+a32=77a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 77, determinați termenii a1,a2,a3a_1, a_2, a_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimăm termenii în funcție de a1a_1 și rr: a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r.
23 puncte
Formăm sistemul de ecuații: a1+(a1+r)+(a1+2r)=15a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 15 și a12+(a1+r)2+(a1+2r)2=77a_1^2 + (a_1 + r)^2 + (a_1 + 2r)^2 = 77.
32 puncte
Simplificăm sistemul: 3a1+3r=15⇒a1+r=53a_1 + 3r = 15 \Rightarrow a_1 + r = 5 și 3a12+6a1r+5r2=773a_1^2 + 6a_1 r + 5r^2 = 77.
42 puncte
Substituim r=5−a1r = 5 - a_1 în a doua ecuație și rezolvăm: 3a12+6a1(5−a1)+5(5−a1)2=77⇒a12−10a1+21=03a_1^2 + 6a_1(5 - a_1) + 5(5 - a_1)^2 = 77 \Rightarrow a_1^2 - 10a_1 + 21 = 0, cu soluțiile a1=3a_1 = 3 sau a1=7a_1 = 7. Atunci r=2r = 2 sau r=−2r = -2. Termenii sunt 3,5,73, 5, 7 sau 7,5,37, 5, 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.